Antworten:
Siehe unten.
Erläuterung:
Berufung # E-> f (x, y, z) = ax ^ 2 + durch ^ 2 + cz ^ 2-1 = 0 #
Ob #p_i = (x_i, y_i, z_i) in E # dann
# ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # ist eine Ebene tangential zu # E # weil hat einen gemeinsamen punkt und #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # ist normal zu # E #
Lassen # Pi-> alpha x + beta y + gamma z = delta # eine allgemeine Ebene sein, die tangential zu ist # E # dann
# {(x_i = alpha / (a delta)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gamma / (c delta)):} #
aber
# ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # so
# alpha ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c = delta ^ 2 # und die generische Tangentenebenengleichung lautet
# alpha x + beta y + gamma z = pmsqrt (alpha ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c) #
Jetzt drei orthogonale Ebenen gegeben
# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #
und anrufen #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gamma_i) # und machen
#V = ((vec v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # wir können wählen
#V cdot V ^ T = I_3 #
und als Folge
# V ^ Tcdot V = I_3 #
dann haben wir auch
# {(sum_i alpha_i ^ 2 = 1), (sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i gamma_i ^ 2 = 1), (sum_i alpha_i beta_i = 0), (sum_i alpha_i gamma_i = 0), (sum_i beta_i gamma_i = 0):} #
Jetzt hinzufügen #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # wir haben
# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (xy sum (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + summe (beta_i gamma_i)) = sum_i delta_i ^ 2 #
und schlussendlich
# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #
aber #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #
so
# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / a + 1 / b + 1 / c #
Dies ist der Pfad, der vom Schnittpunkt von drei zueinander senkrechten Tangentialebenen zum Ellipsoid verfolgt wird.
Beigefügt ein Diagramm für das Ellipsoid
# x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #
