Wie löse ich diese Gleichung?

Antworten:

# "Siehe Erklärung" #

Erläuterung:

# "Wenden Sie zuerst den Satz der rationalen Wurzeln an, um rationale Wurzeln zu finden." #

# "Wir finden" x = 1 "als rationale Wurzel." #

# "So" (x-1) "ist ein Faktor. Diesen Faktor teilen wir weg:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Wir haben eine verbleibende kubische Gleichung, die keine rationalen Wurzeln hat." #

# "Wir können es mit der Vieta-Methode lösen." #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Substitute" x = y + 2/9 "Dann erhalten wir" #

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Substitute" y = (sqrt (22) / 9) z ". Dann erhalten wir" #

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Substitute" z = t + 1 / t "Dann erhalten wir" #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "Ersetzen von" u = t ^ 3 "ergibt die quadratische Gleichung:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "Eine Wurzel dieser quadratischen Gleichung lautet u = 5.73717252." #

# "Ersetzen der Variablen zurück, ergibt:" #

#t = Wurzel (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "Die anderen Wurzeln sind komplex:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i. #

# "(Sie können durch Aufteilen gefunden werden" (x-1.44631151)) #

Antworten:

Der rationale reelle Nullpunkt ist # x = 1 #.

Dann gibt es einen irrationalen reellen Nullpunkt:

# x_1 = 1/9 (2 + Wurzel (3) (305 + 27sqrt (113)) + Wurzel (3) (305-27sqrt (113))) #

und verwandte nicht-reelle komplexe Nullen.

Erläuterung:

Gegeben:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Beachten Sie, dass die Summe der Koeffizienten ist #0#.

Das ist: #3-5+2 = 0#

Daher können wir das ableiten # x = 1 # ist eine Null und # (x-1) # ein Faktor:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#Farbe (weiß) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

Der restliche Würfel ist etwas komplizierter …

Gegeben:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Tschirnhaus-Transformation

Um die Lösung des Cubic zu vereinfachen, vereinfachen wir den Cubic durch eine lineare Substitution, die als Tschirnhaus-Transformation bezeichnet wird.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = t ^ 3-66t-610 #

woher # t = (9x-2) #

Cardanos Methode

Wir wollen lösen:

# t ^ 3-66t-610 = 0 #

Lassen # t = u + v #.

Dann:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) -610 = 0 #

Fügen Sie die Einschränkung hinzu # v = 22 / u # das beseitigen # (u + v) # Begriff und erhalten:

# u ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Multipliziere durch mit # u ^ 3 # und leicht anordnen, um zu erhalten:

# (u ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Verwenden Sie die quadratische Formel, um Folgendes zu finden:

# u ^ 3 = (610 + -Sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + - Quadrat (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Da dies Real ist und die Ableitung in symmetrisch ist # u # und # v #können wir eine dieser Wurzeln für verwenden # u ^ 3 # und der andere für # v ^ 3 # um echte Wurzel zu finden:

# t_1 = Wurzel (3) (305 + 27sqrt (113)) + Wurzel (3) (305-27sqrt (113)) #

und verwandte komplexe Wurzeln:

# t_2 = Omega-Wurzel (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2-Wurzel (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = Omega ^ 2-Wurzel (3) (305 + 27sqrt (113)) + Omega-Wurzel (3) (305-27sqrt (113)) #

woher # omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # ist die primitive Komplexwürfelwurzel von #1#.

Jetzt # x = 1/9 (2 + t) #. Die Wurzeln unseres ursprünglichen Cubic sind also:

# x_1 = 1/9 (2 + Wurzel (3) (305 + 27sqrt (113)) + Wurzel (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + Omega-Wurzel (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2-Wurzel (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 Wurzel (3) (305 + 27sqrt (113)) + Omega-Wurzel (3) (305-27sqrt (113))) #