Was ist die Ableitung dieser Funktion y = sec ^ -1 (e ^ (2x))?

Antworten:

# (2) / (sqrt (e ^ (4x) -1) #

Erläuterung:

Als ob # y = sec ^ -1x # Die Ableitung ist gleichwertig # 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Also mit dieser Formel und wenn # y = e ^ (2x) # dann ist Ableitung # 2e ^ (2x) # Indem wir diese Relation in der Formel verwenden, erhalten wir die erforderliche Antwort. wie # e ^ (2x) # ist eine andere Funktion als # x # Deshalb brauchen wir eine weitere Ableitung von # e ^ (2x) #

Antworten:

# 2 / (sqrt (e ^ (4x) -1)) #

Erläuterung:

Wir haben # d / dxsec ^ -1 (e ^ (2x)) #.

Wir können die Kettenregel anwenden, die dies für eine Funktion angibt #f (u) #ist seine Ableitung # (df) / (du) * (du) / dx #.

Hier, # f = sec ^ -1 (u) #, und # u = e ^ (2x) #.

# d / dxsec ^ -1 (u) = 1 / (sqrt (u ^ 2) sqrt (u ^ 2-1)) #. Dies ist eine übliche Ableitung.

# d / dxe ^ (2x) #. Hier wieder Kettenregel # f = e ^ u # und # x = 2x #. Die Ableitung von # e ^ u # ist # e ^ u #und die Ableitung von # 2x # ist #2#.

Aber hier, # u = 2x #und so haben wir endlich # 2e ^ (2x) #.

So # d / dxe ^ (2x) = 2e ^ (2x) #.

Jetzt haben wir:

# (2e ^ (2x)) / (sqrt (u ^ 2) sqrt (u ^ 2-1)) #, aber seit # u = e ^ (2x) #, wir haben:

# (2e ^ (2x)) / (sqrt ((e ^ (2x)) ^ 2) sqrt ((e ^ (2x)) ^ 2-1)) #

# (2e ^ (2x)) / (e ^ (2x) sqrt ((e ^ (4x)) - 1)) #

# 2 / (sqrt (e ^ (4x) -1)) #, unser Derivat.