Was sind die absoluten Extrema von f (x) = 9x ^ (1/3) -3x in [0,5]?

Antworten:

Das absolute Maximum von #f (x) # ist #f (1) = 6 # und das absolute Minimum ist #f (0) = 0 #.

Erläuterung:

Um das absolute Extrem einer Funktion zu finden, müssen wir die kritischen Punkte finden. Dies sind die Punkte einer Funktion, deren Ableitung entweder Null ist oder nicht existiert.

Die Ableitung der Funktion ist #f '(x) = 3x ^ (- 2/3) -3 #. Diese Funktion (die Ableitung) ist überall vorhanden. Finden wir heraus, wo es null ist:

# 0 = 3x ^ (- 2/3) -3rarr3 = 3x ^ (- 2/3) rarrx ^ (- 2/3) = 1rarrx = 1 #

Bei der Suche nach absoluten Extremen müssen wir auch die Endpunkte der Funktion berücksichtigen: Die drei Möglichkeiten für Extrema sind also gegeben #f (1), f (0) # und # f (5) #. Wenn wir diese berechnen, finden wir das #f (1) = 6, f (0) = 0, # und #f (5) = 9 Wurzel (3) (5) -15 ~ 0,3 #, so #f (0) = 0 # ist das Minimum und #f (1) = 6 # ist die max.

Was sind die absoluten Extrema von f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 in [0,3]?

Auf [0,3] ist das Maximum 19 (bei x = 3) und das Minimum ist -1 (bei x = 1). Um die absoluten Extremwerte einer (kontinuierlichen) Funktion in einem geschlossenen Intervall zu finden, wissen wir, dass das Extrema entweder an kritischen Zahlen im Intervall oder an den Endpunkten des Intervalls auftreten muss. f (x) = x ^ 3-3x + 1 hat die Ableitung f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 ist niemals undefiniert und 3x ^ 2-3 = 0 bei x = + - 1. Da -1 nicht im Intervall [0,3] liegt, wird es verworfen. Die einzige kritische Zahl, die berücksichtigt werden muss, ist 1. f (0) = 1 f (1) = -1 und f (3) = 19. Das Maximum ist also 19 (be

Welcher Satz garantiert die Existenz eines absoluten Maximalwerts und eines absoluten Minimalwerts für f?

Im Allgemeinen kann nicht garantiert werden, dass ein absoluter Maximal- oder Mindestwert von f vorliegt. Wenn f in einem geschlossenen Intervall [a, b] stetig ist (d. H. In einem geschlossenen und begrenzten Intervall), garantiert der Extremwertsatz das Vorhandensein eines absoluten Maximums oder Minimums von f im Intervall [a, b]. .

Wie finden Sie die absoluten maximalen und absoluten Mindestwerte von f für das angegebene Intervall: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) auf [-1, 5]?

Reqd. Extremwerte sind -25/2 und 25/2. Wir verwenden die Substitution t = 5sinx, t in [-1,5]. Beachten Sie, dass diese Substitution zulässig ist, da t in [-1,5] rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 rArr -1/5 <= sinx <= 1 ist, was gilt. als Bereich der Sünde Spaß. ist [-1,1]. Nun ist f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x, da -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25/2sin2x <= 25/2 rArr-25/2 <= f (t) <= 25/2 Extremitäten sind -25/2 und 25/2.