Warum ist das Ausfüllen des Platzes sinnvoll? + Beispiel

Antworten:

Um quadratische Ausdrücke zu vereinfachen, damit sie mit Quadratwurzeln lösbar werden.

Erläuterung:

Das Quadrat zu vervollständigen ist ein Beispiel für eine Tschirnhaus-Transformation - die Verwendung einer Substitution (wenn auch implizit), um eine Polynomialgleichung auf eine einfachere Form zu reduzieren.

So gegeben:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # mit #a! = 0 #

wir könnten schreiben:

# 0 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) #

#Farbe (weiß) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#Farbe (weiß) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (weiß) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#Farbe (weiß) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#Farbe (weiß) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Daher:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

So:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Also mit einer quadratischen Gleichung in der Form begonnen:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Wir haben es in eine Form gebracht # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # mit #t = (2ax + b) # und # k = sqrt (b ^ 2-4ac) #Dadurch entfällt der lineare Term, der nur quadratische Terme hinterlässt.

Solange wir glücklich sind, Quadratwurzeln zu berechnen, können wir jetzt jede quadratische Gleichung lösen.

Das Ausfüllen des Quadrats ist auch nützlich, um die Gleichung eines Kreises, einer Ellipse oder eines anderen konischen Abschnitts in eine Standardform zu bringen.

Zum Beispiel gegeben:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

Den Platz vollenden, finden wir:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

Dies erlaubt uns, diese Gleichung als die eines Kreises mit Zentrum zu identifizieren #(2, -3)# und Radius #5#.