Was ist der Bereich der Funktion f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2)?

Antworten:

Der Bereich ist #R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Erläuterung:

Beachten Sie, dass der Nenner immer undefiniert ist

# 4 sin (x) + 2 = 0 #, das heißt, wann immer

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

oder

#x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, woher #n in ZZ # (# n # ist eine ganze Zahl).

Wie # x # Ansätze #x_ (1, n) # von unten, #f (x) # Ansätze # - infty #während, wenn # x # Ansätze #x_ (1, n) # von oben dann #f (x) # Ansätze # + infty #. Dies ist auf eine Teilung durch "fast" zurückzuführen #-0# oder #+0#'.

Zum #x_ (2, n) # Die Situation ist umgekehrt. Wie # x # Ansätze #x_ (2, n) # von unten, #f (x) # Ansätze # + infty #während, wenn # x # Ansätze #x_ (2, n) # von oben dann #f (x) # Ansätze # -infty #.

Wir erhalten eine Folge von Intervallen, in denen #f (x) # ist kontinuierlich, wie in der Zeichnung zu sehen ist. Betrachten Sie zuerst die "Schüsseln" (an deren Ende die Funktion anbläst # + infty #). Wenn wir in diesen Intervallen die lokalen Minima finden können, wissen wir das #f (x) # nimmt alle Werte zwischen diesem Wert und an # + infty #. Wir können dasselbe für "umgedrehte Schüsseln" oder "Mützen" tun.

Wir stellen fest, dass der kleinste positive Wert erhalten wird, wenn der Nenner eingegeben wird #f (x) # ist so groß wie möglich, das ist wann #sin (x) = 1 #. Daraus schließen wir, dass der kleinste positive Wert von #f (x) # ist #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

Der größte negative Wert wird ähnlich gefunden #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

Aufgrund der Kontinuität von #f (x) # In den Intervallen zwischen Diskontinuitäten und dem Intermediate-Value-Theorem können wir schließen, dass der Bereich von #f (x) # ist

#R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Die harten Klammern bedeuten, dass die Anzahl in dem Intervall enthalten ist (z. B. #-1/2#), während weiche Klammern bedeuten, dass die Nummer nicht enthalten ist.

Graph {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}