Cos (x ^ 2 + 1) nach dem ersten Prinzip der Ableitung unterscheiden?

Antworten:

# -sin (x ^ 2 + 1) * 2x #

Erläuterung:

# d / dx cos (x ^ 2 + 1) #

Für dieses Problem müssen wir die Kettenregel sowie die Tatsache verwenden, dass die Ableitung von #cos (u) = -sin (u) #. Eine Kettenregel besagt im Wesentlichen nur, dass Sie zunächst die äußere Funktion in Bezug auf das, was sich innerhalb der Funktion befindet, ableiten können, und diese dann mit der Ableitung dessen, was sich in der Funktion befindet, multiplizieren.

Formal, # dy / dx = dy / (du) * (du) / dx #, woher #u = x ^ 2 + 1 #.

Wir müssen zuerst die Ableitung des Bits im Cosinus herausfinden, nämlich # 2x #. Nachdem wir das Derivat des Cosinus (einen negativen Sinus) gefunden haben, können wir es einfach mit multiplizieren # 2x #.

# = - sin (x ^ 2 + 1) * 2x #

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

#f (x) = cos (x ^ 2-1) #

Wir müssen finden

#lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / h = lim_ (hrarr0) (cos ((x + h) ^ 2-1) -cos (x ^ 2-1)) / h #

Konzentrieren wir uns auf den Ausdruck, dessen Grenze wir brauchen.

# (cos ((x ^ 2-1) + (2xh + h ^ 2)) - cos (x ^ 2-1)) / h #

# = (cos (x ^ 2-1) cos (2xh + h ^ 2) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) -cos (x ^ 2-1)) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / h - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) (2x + h) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h) ^ 2) / (h (2x + h)) (2x + h) #

Wir werden die folgenden Grenzwerte verwenden:

#lim_ (hrarr0) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) (cost-1) / t = 0 #

#lim_ (hrarr0) sin (2xh + h ^ 2) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) sint / t = 1 #

Und #lim_ (hrarr0) (2x + h) = 2x #

So bewerten Sie das Limit:

#cos (x ^ 2-1) (0) (2x) - sin (x ^ 2-1) * (1) * (2x) = -2xsin (x ^ 2-1) #