Warum haben so viele Leute den Eindruck, dass wir den Bereich einer rationalen Funktion finden müssen, um ihre Nullen zu finden? Nullstellen von f (x) = (x ^ 2-x) / (3x ^ 4 + 4x ^ 3-7x + 9) sind 0,1.

Ich denke, dass das Finden der Domäne einer rationalen Funktion nicht notwendigerweise mit dem Finden ihrer Wurzeln / Nullen zusammenhängt. Das Finden der Domäne bedeutet einfach, die Voraussetzungen für die bloße Existenz der rationalen Funktion zu finden.

Mit anderen Worten, bevor wir die Wurzeln finden, müssen wir sicherstellen, unter welchen Bedingungen die Funktion existiert. Es mag pedantisch erscheinen, aber es gibt Fälle, in denen dies wichtig ist.

Antworten:

Ich vermute, dass ein Faktor im Zähler auch im Nenner dargestellt werden kann, was zu einer entfernbaren Diskontinuität führt.

Erläuterung:

Dies ist nur meine Spekulation, aber ich wette, das Problem tritt auf, wenn die Nullen einer Funktion wie folgt gefunden werden:

# (x ^ 2-3x) / (x ^ 3 + 2x ^ 2-29x + 42) #

Sie wären versucht zu sagen, dass die Nullen stehen # x = 0 # und # x = 3 #, aber in Wirklichkeit gibt es nur eine Null # x = 0 #.

Wenn Sie den Nenner (und den Zähler) berücksichtigen, erhalten Sie

# (x (x-3)) / ((x-3) (x-2) (x + 7)) #

Die Funktion ist also wirklich gerecht #x / ((x-2) (x + 7)) # mit einem Loch an # x = 3 #.

Bearbeiten:

Dies könnte auch für Funktionen mit ungeradzahligen Nennern gelten. Ich glaube wirklich nicht, dass dies unglaublich wichtig ist, da dies selten ein Problem ist, aber in

# 1 / (xsinx) #

Die Domain enthält nicht # x = 0, pi, 2pi … #

Also in einer Funktion wie

# (x-pi) / (xsinx) #

Es gibt keine Null bei # x = pi # aber nur ein loch. Ich konnte also erkennen, wie wertvoll es ist, die Domäne zu betrachten, um sicherzustellen, dass es keine Überschneidungen bei den Domäneneinschränkungen und mögliche Nullen für solche Odder-Funktionen gibt.