Der Beweis, dass N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) ist eine ganze Zahl?

Antworten:

Erwägen # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Dies hat eine echte Wurzel, die ist #6# a.k.a. # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Erläuterung:

Betrachten Sie die Gleichung:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Mit der Cardano-Methode lösen #t = u + v #

Dann:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

Um den Begriff in zu beseitigen # (u + v) #Fügen Sie die Einschränkung hinzu # uv = 7 #

Dann:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Multipliziere durch mit # u ^ 3 # und ordnen Sie neu an, um das Quadrat in zu erhalten # u ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

Nach der quadratischen Formel hat dies Wurzeln:

# u ^ 3 = (90 + - Quadrat (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

#Farbe (weiß) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#Farbe (weiß) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#Farbe (weiß) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Da dies Real ist und die Ableitung in symmetrisch war # u # und # v #können wir eine dieser Wurzeln für verwenden # u ^ 3 # und der andere für # v ^ 3 # dass die reale Null von # t ^ 3-21t-90 # ist:

# t_1 = Wurzel (3) (45 + 29sqrt (2)) + Wurzel (3) (45-29sqrt (2)) #

aber wir finden:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Also die wahre Null von # t ^ 3-21t-90 # ist #6#

So # 6 = Wurzel (3) (45 + 29sqrt (2)) + Wurzel (3) (45-29sqrt (2)) #

#Farbe weiß)()#

Fußnote

Um die kubische Gleichung zu finden, verwendete ich die Cardano-Methode rückwärts.

Antworten:

#N = 6 #

Erläuterung:

Herstellung #x = 45 + 29 sqrt (2) # und #y = 45-29 sqrt (2) # dann

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3)) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

oder anrufen #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # wir haben

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

mit # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # und #z = 6 # ist so eine Wurzel

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #

Was ist eine reelle Zahl, eine ganze Zahl, eine ganze Zahl, eine rationale Zahl und eine irrationale Zahl?

Erklärung unten Rational Zahlen gibt es in drei verschiedenen Formen. ganze Zahlen, Brüche und terminierende oder wiederkehrende Dezimalzahlen wie 1/3. Irrationale Zahlen sind ziemlich "unordentlich". Sie können nicht als Brüche geschrieben werden, sie sind niemals endende Dezimalzahlen. Ein Beispiel dafür ist der Wert von π. Eine ganze Zahl kann als ganze Zahl bezeichnet werden und ist entweder eine positive oder negative Zahl oder Null. Ein Beispiel hierfür ist 0, 1 und -365.

Ist sqrt21 eine reelle Zahl, eine rationale Zahl, eine ganze Zahl, eine ganze Zahl, eine irrationale Zahl?

Es ist eine irrationale Zahl und daher real. Lassen Sie uns zuerst beweisen, dass sqrt (21) eine reelle Zahl ist, tatsächlich ist die Quadratwurzel aller positiven reellen Zahlen reell. Wenn x eine reelle Zahl ist, definieren wir für die positiven Zahlen sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x}. Das bedeutet, dass wir alle reellen Zahlen y so betrachten, dass y ^ 2 <= x ist, und die kleinste reelle Zahl nehmen, die größer als alle y ist, das sogenannte Supremum. Bei negativen Zahlen gibt es diese y nicht, da bei allen reellen Zahlen das Quadrat dieser Zahl eine positive Zahl ergibt und alle

Beweisen Sie indirekt, wenn n ^ 2 eine ungerade Zahl ist und n eine ganze Zahl ist, dann ist n eine ungerade Zahl?

Beweis durch Widerspruch - siehe unten Uns wird gesagt, dass n ^ 2 eine ungerade Zahl ist und n in ZZ:. n ^ 2 in ZZ Angenommen, n ^ 2 ist ungerade und n ist gerade. Also ist n = 2k für einige k ZZ und n ^ 2 = nxxn = 2kxx2k = 2 (2k ^ 2), was eine gerade ganze Zahl ist:. n ^ 2 ist gerade, was unserer Annahme widerspricht. Daraus müssen wir schließen, dass, wenn n ^ 2 ungerade ist, n auch ungerade sein muss.