Antworten:
Hier schon beantwortet.
Erläuterung:
Sie müssen zuerst finden # sin18 ^ @ #, für die Details hier verfügbar sind.
Dann kannst du bekommen # cos36 ^ @ # wie hier gezeigt.
Antworten:
Wir lösen #cos (2 theta) = cos (3 theta) # oder # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # zum # x = cos 144 ^ circ # und bekomme #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}). #
Erläuterung:
Wir bekommen #cos 36 ^ circ # mild indirekt von der Doppel- und Dreifachwinkelformel für Cosinus. Es ist ziemlich cool, wie es gemacht wird, und hat ein überraschendes Ende.
Wir konzentrieren uns auf #cos 72 ^ circ #. Der Winkel # theta = 72 ^ circ # erfüllt
#cos (2 Theta) = cos (3 Theta). #
Lass uns das lösen für # theta #zurückrufen #cos x = cos a # hat Lösungen #x = pm a + 360 ^ circ k. #
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ k # oder # -theta = 360 ^ circ k #
#theta = 72 ^ zirk k #
Das schließt das ein # 360 ^ circ k # So können wir das "oder" Teil fallen lassen.
Ich schreibe hier kein Geheimnis (trotz des Überraschungsendes), also werde ich das erwähnen #cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) # ist auch eine gültige Lösung und wir sehen, wie es mit der Frage zusammenhängt.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
Nun lass # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
Wir wissen # x = cos (0 times 72 ^ circ) = 1 # ist so eine Lösung # (x-1) # ist ein Faktor:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
Das Quadrat hat Wurzeln
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
Der Positive muss sein #cos 72 ^ circ # und das Negative #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
Das ist die Antwort. Die Überraschung ist der halbe Goldene Schnitt!
