Wie kann man sqrt (x ^ 2 + 4x) dx integrieren?

Antworten:

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2 cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2 cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Erläuterung:

Da ist es einfacher mit nur einem umzugehen # x # unter einer Wurzel vervollständigen wir das Quadrat:

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# k = -4 #

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Jetzt müssen wir eine trigonometrische Substitution vornehmen. Ich werde hyperbolische Triggerfunktionen verwenden (weil das Sekantenintegral normalerweise nicht sehr nett ist). Wir möchten die folgende Identität verwenden:

# cosh ^ 2 (Theta) -1 = sinh ^ 2 (Theta) #

Dafür wollen wir # (x + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (Theta) #. Wir können lösen für # x # Um welche Substitution zu bekommen, brauchen wir:

# x + 2 = 2cosh (Theta) #

# x = 2cosh (Theta) -2 #

In Bezug auf integrieren # theta #müssen wir uns mit der Ableitung von multiplizieren # x # in Gedenken an # theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta = #

# = 2int sqrt (4 cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta) d theta = #

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta = #

Jetzt können wir die Identität verwenden # cosh ^ 2 (Theta) -1 = sinh ^ 2 (Theta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta) d theta #

Jetzt benutzen wir die Identität:

# sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

Wir könnten eine explizite u-Substitution für machen # 2cosh (2theta) #, aber es ist ziemlich offensichtlich, dass die Antwort lautet #sinh (2theta) #:

# = sinh (2theta) -2theta + C #

Nun müssen wir die Substitution rückgängig machen. Wir können lösen für # theta # bekommen:

# theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

Das gibt:

#sinh (2 cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

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