Differenzieren und Vereinfachen Sie bitte helfen?

Antworten:

# x ^ (Tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Erläuterung:

ausdrücken # x ^ tanx # als Macht von e:

# x ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) #

# = d / dxe ^ (lnxtanx) #

Verwenden der Kettenregel # d / dxe ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), # woher # u = lnxtanx # und # d / (du) (e ^ u) = e ^ u #

# = (d / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) #

ausdrücken # e ^ (lnxtanx) # als eine Macht von x:

# e ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx #

# = x ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) #

Verwenden Sie die Produktregel. # d / (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx) #, woher # u = lnx # und # v = tanx #

# = lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanx #

Das Derivat von # tanx # ist # sec ^ 2x #

# = x ^ tanx (sec ^ 2xlnx + (d / (dx) (lnx)) tanx) #

Die Ableitung von # lnx # ist # 1 / x #

# = x ^ tanx (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Antworten:

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) x ^ tan (x) #

Erläuterung:

Wir werden die logarithmische Differenzierung verwenden - das heißt, wir werden das natürliche Protokoll beider Seiten nehmen und implizit die Unterscheidung von w # x #

Gegeben: # y = x ^ tan (x) #

Nimm das natürliche Protokoll (# ln #) von beiden Seiten:

#ln (y) = ln (x ^ tan (x)) #

Anwenden der Leistungsregel des natürlichen Protokolls #ln (a) ^ b = b * ln (a) #

#ln (y) = tan (x) * ln (x) #

Unterscheiden Sie beide Seiten implizit w.r.t # x #

# 1 / y * dy / dx = Farbe (blau) (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) # (Siehe unten)

Zur Unterscheidung der RHS müssen wir die Produktregel verwenden!

Wir haben # d / dx tan (x) * ln (x) #

Lassen #f (x) = tan (x) # und #g (x) = ln (x) #

Somit, #f '(x) = sec ^ 2 (x) # und #g '(x) = 1 / x #

Nach der Produktregel: # d / dx f (x) * g (x) = f '(x) g (x) + f (x) g (x) #

Ersetzen wir bekommen:

# d / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) * 1 / x #

Vereinfachung …

# d / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) / x #

Gehen wir zu dem zurück, was wir vorher hatten:

# 1 / y * dy / dx = sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x #

Wir wollen isolieren # dy / dx # also multiplizieren wir beide seiten mit # y #

#cancelcolor (rot) y * 1 / cancely * dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * Farbe (rot) y #

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * Farbe (rot) y #

Wir möchten alles in Bezug auf schreiben # x # aber wir haben das #farbe (rot) y # Im weg. Sie erinnern sich vielleicht daran #farbe (rot) y # ist uns ganz am Anfang gegeben. #color (rot) (y = x ^ tan (x)) #

#:. dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * x ^ tan (x) #