Mars hat eine durchschnittliche Oberflächentemperatur von etwa 200K. Pluto hat eine durchschnittliche Oberflächentemperatur von etwa 40K. Welcher Planet emittiert pro Quadratmeter Oberfläche pro Sekunde mehr Energie? Um einen Faktor wie viel?

Antworten:

Mars strahlt #625# mal mehr Energie pro Flächeneinheit als bei Pluto.

Erläuterung:

Es ist offensichtlich, dass ein heißeres Objekt mehr Schwarzkörperstrahlung emittiert. Wir wissen also bereits, dass der Mars mehr Energie als Pluto abgeben wird. Die Frage ist nur, wie viel.

Dieses Problem erfordert das Auswerten der Energie der von beiden Planeten emittierten Schwarzkörperstrahlung. Diese Energie wird als Funktion der Temperatur und der emittierten Frequenz beschrieben:

#E (nu, T) = (2pi ^ 2 nu) / c (h nu) / (e ^ ((hnu) / (kT)) - 1) #

Die Integration über die Frequenz ergibt die Gesamtleistung pro Flächeneinheit als Funktion der Temperatur:

# int_0 ^ infty E (nu, T) = (pi ^ 2c (kT) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

(Beachten Sie, dass die obige Gleichung verwendet # barh #, die reduzierte Planck-Konstante, anstatt # h #. Es ist schwer in der Schreibweise von Sokratisch zu lesen)

Wenn man nach dem Verhältnis zwischen den beiden sucht, ist das Ergebnis unglaublich einfach. Ob # T_p # ist Plutos Temperatur und # T_m # ist die Temperatur des Mars dann der Faktor #ein# kann berechnet werden mit:

# (pi ^ 2c (kT_m) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) = a (pi ^ 2c (kT_p) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

#cancel (pi ^ 2ck ^ 4) / aufheben (60 (barhc) ^ 3) T_m ^ 4 = acancel (pi ^ 2ck ^ 4) / aufheben (60 (barhc) ^ 3) T_p ^ 4 #

# (T_m / T_p) ^ 4 = a = (200/40) ^ 4 = 5 ^ 4 = 625 # mal so viel