Wie finde ich den Abstand vom Punkt A (3, -5,5) zur Linie x = 2 + 3t, y = 1-2t, z = -1 + t?

Antworten:

# 5 / sqrt6 #

Es gibt eine Gleichung

# x + 2y + z-3 = 0 #

Entfernungsformel verwenden

=# ((1 * 3-5 * 2 + 5 * 1) -3) / sqrt (1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2) #

=# -5 / sqrt6 #

#abs (-5 / sqrt6) #

=# 5 / sqrt6 #

#sqrt 83/2 #

Definieren

# p_0 = {2,1, -1} #

#vec v = {3, -2,1} #

# p_A = {3, -5,5} #

Wir müssen den Abstand zwischen den Linien bestimmen

# r-> p_0 + t vec v # und der Punkt # p_A #

Mit Pitagoras haben wir

#a = norm (p_a-p_0) #

#b = abs (<< p_A-p_0, (vec v) / norm (vec v) >>) #

#d = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) # Welches ist die gesuchte Entfernung?

#a = sqrt ((3-2) ^ 2 + (- 5-1) ^ 2 + (5 + 1) ^ 2 #

# (vec v) / norm (vec v) = ({3, -2,1}) / sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1) #

#b = abs (((3-2) cdot 3+ (5 + 1) cdot 2+ (5 + 1) cdot 1) / sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1)) #

Endlich

#d = sqrt 83/2 #

#sqrt (83/2). #

Wir finden die Koordinaten. des Fußes # M # der Täter von #A (3, -5,5) # in der angegebenen Zeile #L: x = 2 + 3t, y = 1-2t, z = -1 + t, t in RR. #

Wir nehmen das zur Kenntnis #M in L, M (2 + 3t, 1-2t, -1 + t) # für einige #t in RR. #

Ebenfalls #A (3, -5,5) rArrvec (AM) = (2 + 3t-3,1-2t + 5, -1 + t-5) = (3t-1,6-2t, t-6) #

Der Richtungsvektor # vecl # der Linie # L # ist # vecl = (3, -2,1) #

Wissend, dass #vec (AM) # ist perp. zu # vecl #, wir haben, #vec (AM) · vecl = 0 rArr (3t-1,6-2t, t-6). (3, -2,1) = 0 #

#:. 3 (3t-1) -2 (6-2t) + (t-6) = 0 #

#:. 9t-3-12 + 4t + t-6 = 0 #

#:. 14t = 21 rArr t = 3/2 rArr vec (AM) = (9 / 2-1,6-3,3 / 2-6) = (7 / 2,3, -9 / 2) #

Daher die Dist. # AM = || vec (AM) || = sqrt {49/4 + 9 + 81/4) = sqrt (166/4) = sqrt (83/2), # wie von abgeleitet Cesareo R. Herr!

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