Jedes Rechteck ist 6 cm lang und 3 cm breit, sie haben eine gemeinsame Diagonale von PQ. Wie zeigen Sie, dass tanalpha = 3/4 ist?

Antworten:

Ich bekomme #tan alpha = tan (pi / 2 - 2 arctan (3/6)) = 3/4 #

Erläuterung:

Spaß. Ich kann mir ein paar verschiedene Möglichkeiten vorstellen, um diese zu sehen. Nennen wir für das horizontale Rechteck das obere linke S und das rechte untere R. Wir nennen den Scheitelpunkt der Figur eine Ecke des anderen Rechtecks, T.

Wir haben kongruente Winkel QPR und QPT.

# tan QPR = tan QPT = frac {Text {Gegenteil}} {Text {Angrenzung}} = 3/6 = 1/2 #

Die tangentiale Doppelwinkelformel gibt uns #tan RPT #

#tan (2x) = frac {2 tan x} {1 - tan ^ 2 x} #

#tan RPT = frac {2 (1/2)} {1 - (1/2) ^ 2} = 4/3 #

Jetzt #Alpha# ist der komplementäre Winkel von RPT (sie addieren sich zu # 90 ^ circ #), so

# tan alpha = Kinderbett RPT = 3/4 #

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Dreiecke # DeltaABP # und # DeltaCBQ # sind rechtwinklige Dreiecke mit:

# AP = CQ = 3 # und

# / _ ABP = / _ CBQ # weil sie vertikale Winkel sind.

Daher sind die beiden Dreiecke deckungsgleich.

Das heisst:

# PB = BQ #

Lassen # AB = x # und # BQ = y # dann:

# PB = y #

Wir wissen das:

# x + y = 6 # cm #Farbe (rot) (Gleichung-1) #

Im Dreieck # DeltaABP #:

# y ^ 2 = x ^ 2 + 9 # #Farbe (rot) (Gleichung-2) #

Lass uns lösen für # y # von #Farbe (rot) (Gleichung-1) #:

# y = 6-x #

Stecken wir das hier ein #Farbe (rot) (Gleichung-2) #:

# (6-x) ^ 2 = x ^ 2 + 9 #

# 36-12x + x ^ 2 = x ^ 2 + 9 #

# 36-12x = 9 #

# 12x = 27 #

# x = 9/4 #

# tanalpha = (AB) / (AP) = x / 3 = (9/4) / 3 = 9/12 = 3/4 #