Zeigen Sie, dass 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) für n> 1?

Antworten:

Unten

Erläuterung:

Um zu zeigen, dass die Ungleichheit wahr ist, verwenden Sie eine mathematische Induktion

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # zum #n> 1 #

Schritt 1: Beweise das für # n = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

Schon seit # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, dann #LHS> RHS #. Daher gilt es für # n = 2 #

Schritt 2: Nehmen Sie für wahr an # n = k # wobei k eine ganze Zahl und ist #k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

Schritt 3: Wann # n = k + 1 #,

RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

dh # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

#> = sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # aus (1) durch Annahme

=# sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

Schon seit #k> 1 #, dann # -1 / sqrt (k + 1) <0 # und seit # ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, dann # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # so # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

Schritt 4: Durch den Nachweis der mathematischen Induktion gilt diese Ungleichung für alle ganzen Zahlen # n # größer als #1#

Die festgestellte Ungleichheit ist falsch.

ZB für #n = 3 #:

#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (ca. 2,3) stornieren (> =) Unterlauf (sqrt2 (3-1)) _ (ca. 2,8) #

Ein Widerspruch.

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