Was ist die Standardform der Gleichung der Parabel mit einer Directrix bei x = 103 und einem Fokus bei (108,41)?

Antworten:

# x = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

Erläuterung:

Eine Parabel ist der Ort eines Punktes, der sich so bewegt, dass seine Entfernung von einer gegebenen Linie, genannt Directrix, und einem bestimmten Punkt, der als Fokus bezeichnet wird, immer gleich ist.

Nun ist der Abstand zwischen zwei Pints # (x_1, y_1) # und # (x_2, y_2) # ist gegeben durch #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # und Entfernung eines Punktes # (x_1, y_1) # aus einer Zeile # ax + by + c = 0 # ist # | (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) | #

Mit Directrix zur Parabel # x = 103 # oder # x-103 = 0 # und konzentrieren #(108,41)#, lass den Punkt gleich weit von beiden sein # (x, y) #. Die Entfernung von # (x, y) # von # x-103 = 0 # ist

# | (x-103) / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) | = | (x-103) / 1 | = | x-103 | #

und seine Entfernung von #(108,41)# ist

#sqrt ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2) #

und da beide gleich sind, wäre die Parabelgleichung

# (108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2 = (x-103) ^ 2 #

oder # 108 ^ 2 + x ^ 2-216x + 41 ^ 2 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 103 ^ 2-206x #

oder # 11664 + x ^ 2-216x + 1681 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 10609-206x #

oder # y ^ 2-82y-10x + 2736 = 0 #

oder # 10x = y ^ 2-82y + 2736 #

oder # 10x = (y-41) ^ 2 + 1055 #

oder in Scheitelpunktform # x = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

und Scheitelpunkt ist #(105 1/2,41)#

Das Diagramm wird wie unten gezeigt zusammen mit Fokus und Directrix angezeigt.

Graph {(y ^ 2-82y-10x + 2736) ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2-0,6) (x-103) = 0 51.6, 210.4, -13.3, 66.1}