Zeigen Sie, dass 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) ... bis unendlich = 3 ^ (3/4). Wie?

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

# 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) cdots = 3 ^ (1/3) xx 3 ^ (2/9) xx 3 ^ (3/27) cdots = 3 ^ (1/3 + 2/9 + 3/27 + cdots + n / 3 ^ n + cdots) = 3 ^ S #

mit

#S = sum_ (k = 1) ^ oo n / 3 ^ n =? #

Wir wissen das #sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x d / (dx) sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k #

und auch das für #abs x <1 #

#sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k = 1 / (1-x) -1 # und # d / (dx) (1 / (1-x) -1) = 1 / (1-x) ^ 2 # dann

#sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x / (1-x) ^ 2 # und für #x = 1/3 # wir haben

#S = 3/4 # dann endlich

# 3 ^ S = 3 ^ (3/4) #

Der Graph von h (x) wird angezeigt. Das Diagramm scheint kontinuierlich zu sein, wo sich die Definition ändert. Zeigen Sie, dass h tatsächlich kontinuierlich ist, indem Sie die linken und rechten Grenzen finden und zeigen, dass die Definition der Kontinuität erfüllt ist.

Bitte beachten Sie die Erklärung. Um zu zeigen, dass h stetig ist, müssen wir seine Kontinuität bei x = 3 überprüfen. Wir wissen, dass h. bei x = 3, wenn und nur dann, wenn lim_ (x bis 3-) h (x) = h (3) = lim_ (x bis 3+) h (x) ............ ................... (ast). Als x bis 3, x lt 3:. h (x) = - x ^ 2 + 4x + 1. :. lim_ (x bis 3-) h (x) = lim_ (x bis 3 -) - x ^ 2 + 4x + 1 = - (3) ^ 2 + 4 (3) +1, rArr lim_ (x bis 3-) h (x) = 4 ............................................ .......... (ast ^ 1). In ähnlicher Weise ist lim_ (x zu 3+) h (x) = lim_ (x zu 3+) 4 (0,6) ^ (x-3) = 4 (0,6) ^ 0. rArr lim_

Wie können Sie anhand der Definition der Konvergenz beweisen, dass die Sequenz {2 ^ -n} von n = 1 bis unendlich geht?

Verwenden Sie die Eigenschaften der Exponentialfunktion, um N zu bestimmen, z. B. | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon für jedes m, n> N Die Definition der Konvergenz besagt, dass {a_n} konvergiert, wenn: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Wenn also epsilon> 0 ist, nimm n> log_2 (1 / epsilon) und m, n> N mit m <n As m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 so | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Nun ist 2 ^ x immer positiv, (1- 2 ^ (mn)) <1, also 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) Und als 2

Sei (ABC) ein beliebiges Dreieck, strecke (AC) bis D so, dass Bar (CD) bar (CB); strecken Sie auch den Stab (CB) in E, so dass der Stab (CE) bar (CA) ist. Segmente bar (DE) und bar (AB) treffen sich bei F. Zeigen Sie, dass (DFB isosceles?

Wie folgt Ref: Gegebene Abbildung "In" DeltaCBD, bar (CD) ~ = bar (CB) => / _ CBD = / _ CDB "Wieder in" DeltaABC und DeltaDEC bar (CE) ~ = bar (AC) -> "nach Konstruktion "bar (CD) ~ = bar (CB) ->" durch Konstruktion "" Und "/ _DCE =" vertikal gegenüberliegend "/ _BCA" Daher "DeltaABC ~ = DeltaDCE => / _ EDC = / _ ABC" Jetzt in "DeltaBDF, / _FBD = / _ ABC + / _ CBD = / _ EDC + / _ CDB = / _ EDB = / _ FDB "So" -Balken (FB) ~ = Balken (FD) => DeltaFBD "isosceles"