Angenommen, Sie starten ein Projektil mit einer Geschwindigkeit, die so hoch ist, dass es ein Ziel aus einiger Entfernung treffen kann. In Anbetracht der Geschwindigkeit von 34 m / s und der Entfernungsentfernung von 73 m, aus welchen zwei möglichen Winkeln kann das Projektil abgeschossen werden?

Antworten:

# alpha_1 ~ = 19,12 ° #

# alpha_2 ~ = 70,88 ° #.

Erläuterung:

Die Bewegung ist eine parabolische Bewegung, dh die Zusammensetzung zweier Bewegungen:

Die erste, horizontale, ist eine einheitliche Bewegung mit dem Gesetz:

# x = x_0 + v_ (0x) t #

und der zweite ist ein verlangsamter Antrag mit Gesetz:

# y = y_0 + v_ (0y) t + 1 / 2g t ^ 2 #,

woher:

• # (x, y) # ist die Position zu der Zeit # t #;
• # (x_0, y_0) # ist die Ausgangsposition;
• # (v_ (0x), v_ (0y)) # sind die Komponenten der Anfangsgeschwindigkeit, dh für die Trigonometriegesetze:

  #v_ (0x) = v_0cosalpha #

  #v_ (0y) = v_0sinalpha #

  (#Alpha# ist der Winkel, den die Vektorgeschwindigkeit mit der Horizontalen bildet);

• # t # ist an der Zeit;
• #G# ist die Erdbeschleunigung.

Um die Bewegungsgleichung, eine Parabel, zu erhalten, müssen wir das System zwischen den beiden oben genannten Gleichungen lösen.

# x = x_0 + v_ (0x) t #

# y = y_0 + v_ (0y) t + 1 / 2g t ^ 2 #.

Lass uns finden # t # aus der ersten Gleichung und lassen Sie uns in der zweiten ersetzen:

# t = (x-x_0) / v_ (0x) #

# y = y_0 + v_ (0y) (x-x_0) / v_ (0x) -1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / v_ (0x) ^ 2 # oder:

# y = y_0 + v_0sinalpha (x-x_0) / (v_0cosalpha) -1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) # oder

# y = y_0 + Sinalpha (x-x_0) / cosalpha-1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alpha)

Um den Bereich zu finden, können wir annehmen:

# (x_0, y_0) # ist der Ursprung #(0,0)#und der Punkt, an dem es fällt, hat Koordinaten: # (0, x) # (# x # ist der Bereich!), also:

# 0 = 0 + Sinalpha * (x-0) / cosalpha-1 / 2g (x-0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) rArr #

# x * sinalpha / cosalpha-g / (2v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) x ^ 2 = 0rArr #

#x (sinalpha / cosalpha-g / (2v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) x) = 0 #

# x = 0 # ist eine Lösung (der Anfangspunkt!)

# x = (2sinalphacosalphav_0 ^ 2) / g = (v_0 ^ 2sin2alpha) / g #

(unter Verwendung der Doppelwinkelformel des Sinus).

Jetzt haben wir die Recht Formel zur Beantwortung der Frage:

# sin2alpha = (x * g) / v_0 ^ 2 = (73 * 9.8) / 34 ^ 2 ~ = 0,6189rArr #

# 2Alpha_1 ~ = Bögenin0,6189 + K360 ° ~ = 38,23 ° #

# alpha_1 ~ = 19,12 ° #

und (der Sinus hat ergänzende Lösungen):

# 2alpha_2 ~ = 180 ° -arcsin0,6189 + k360 ° ~ = 180 ° -38,23 ° ~ = 141,77 ° #

# alpha_2 ~ = 70,88 ° #.