Frage # 35a7e

Antworten:

Wie in den Kommentaren unten erwähnt, ist dies die MacLaurin-Serie für #f (x) = cos (x) #und wir wissen, dass dies konvergiert # (- oo, oo) #. Wenn Sie jedoch den Prozess sehen wollten:

Erläuterung:

Da wir eine Nenngröße im Nenner haben, verwenden wir den Verhältnistest, da dies die Vereinfachungen etwas erleichtert. Diese Formel lautet:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Wenn dies <1 ist, konvergiert Ihre Serie

Wenn dies> 1 ist, divergiert Ihre Serie

Wenn dies = 1 ist, ist Ihr Test nicht schlüssig

Also, lass uns das tun:

#lim_ (k oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!))) * (-1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Hinweis: Seien Sie sehr vorsichtig beim Anschließen (k + 1). 2k wird zu 2 (k + 1), NICHT zu 2k + 1.

Ich multiplizierte mit dem Kehrwert von # x ^ (2k) / ((2k)!) # Anstatt zu teilen, nur um die Arbeit etwas zu erleichtern.

Nun lasst uns Algebra. Aufgrund des absoluten Wertes sind unsere alternierenden Terme (d. H. # (- 1) ^ k #) werden nur annulliert, da wir immer eine positive Antwort haben werden:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Wir können unsere stornieren # x ^ (2k) #'s:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) #

Jetzt müssen wir die Fakultäten streichen.

Erinnere dich daran # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

Ebenfalls, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Beachten:

# (2k)! = Farbe (rot) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * Farbe (rot) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

Wie Sie sehen, wir # (2k)! # ist im Wesentlichen ein Teil von # (2k + 2)! #. Wir können dies verwenden, um jeden gängigen Begriff zu streichen:

# ((2k)!) / ((2k + 2)!) = Abbrechen (Farbe (rot) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / ((2k + 2) * (2k + 1) * abbrechen (Farbe (rot) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Diese Blätter

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

Nun können wir diese Grenze auswerten. Beachten Sie, dass wir diese Grenze in Bezug auf nicht einnehmen # x #können wir es ausrechnen:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Wie Sie sehen können, ist dieses Limit = 0, was weniger als 1 ist. Nun fragen wir uns: Gibt es einen Wert von # x # wofür wäre diese Grenze 1? Und die Antwort ist nein, da alles, das mit 0 multipliziert wird, 0 ist.

Also seit #lim_ (k oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k))) <1 # für alle Werte von # x #Wir können sagen, dass es ein Konvergenzintervall von # (- oo, oo) #.

Hoffe das hat geholfen:)