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Erläuterung:
Zum # x = 0 # wir haben
#f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #
Wir betrachten eine neue Funktion #g (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, # x ##im## RR #
#g (0) = 0 #, #g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, # x ##im## RR #
Als Ergebnis #G# wächst in # RR #. Also weil es streng zunimmt #G# ist "#1-1#" (eins zu eins)
So, #f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># #g (f (0)) = g (0) # #<=># #f (0) = 0 #
Das müssen wir zeigen # x / 2 <##f (x) <##xf '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<## (f (x) -f (0)) / (x-0) <##f '(x) #
- # f # ist kontinuierlich bei # 0, x #
- # f # ist in differenzierbar # (0, x) #
Entsprechend dem Mittelwertsatz gibt es # x_0 ##im## (0, x) #
für was #f '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #
#f (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, # x ##im## RR # so
durch die differenzierung beider teile erhalten wir
#f '(x) -e ^ (- f (x)) (- f (x))' = 1 # #<=># #f '(x) + f' (x) e ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#
#f '(x) (1 + e ^ (- f (x))) = 1 # # <=> ^ (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
#f '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x))) #
Die Funktion # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # ist differenzierbar. Als Ergebnis # f '# ist differenzierbar und # f # ist 2 mal differenzierbar mit
#f '' (x) = - ((1 + e ^ (- f (x))) ') / (1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #=#
# (f '(x) e ^ (- f (x))) / ((1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, # x ##im## RR #
-> # f '# steigt streng in # RR # was bedeutet
# x_0 ##im## (0, x) # #<=># #0<## x_0 <## x # #<=>#
#f '(0) <##f '(x_0) <##f '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0))) ##<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
# x / 2 <##f (x) <##xf '(x) #
