Was ist x wenn log_4 (8x) - 2 = log_4 (x-1)?

Antworten:

# x = 2 #

Erläuterung:

Wir möchten gerne einen Ausdruck haben

# log_4 (a) = log_4 (b) #Wenn wir es hätten, könnten wir leicht fertig werden und beobachten, dass die Gleichung dann und nur dann gelöst würde, wenn # a = b #. Lassen Sie uns einige Manipulationen vornehmen:

1. Beachten Sie zuerst das #4^2=16#, so # 2 = log_4 (16) #.

Die Gleichung schreibt dann als

# log_4 (8x) -log_4 (16) = log_4 (x-1) #

Aber wir sind immer noch nicht glücklich, denn wir haben den Unterschied zwischen zwei Logarithmen im linken Element und wir wollen einen eindeutigen. Also benutzen wir

1. #log (a) -log (b) = log (a / b) #

Die Gleichung wird also

# log_4 (8x / 16) = log_4 (x-1) #

Welches ist natürlich

# log_4 (x / 2) = log_4 (x-1) #

Nun sind wir in der gewünschten Form: da der Logarithmus injektiv ist, wenn # log_4 (a) = log_4 (b) #dann unbedingt # a = b #. In unserem Fall,

# log_4 (x / 2) = log_4 (x-1) iff x / 2 = x-1 #

Welches ist leicht zu lösen # x = 2x-2 #, was ergibt # x = 2 #