Was sind die absoluten Extrema von f (x) = x ^ 4 - 8x ^ 2 - 12 in [-3, -1]?

Antworten:

#-3# (tritt bei # x = -3 #) und #-28# (tritt bei # x = -2 #)

Erläuterung:

Absolute Extremwerte eines geschlossenen Intervalls treten an den Endpunkten des Intervalls oder bei auf #f '(x) = 0 #.

Das heißt, wir müssen die Ableitung gleich setzen #0# und sehen was # x #-Werte, die uns bekommen, und wir müssen verwenden # x = -3 # und # x = -1 # (weil dies die Endpunkte sind).

Beginnen wir also mit der Ableitung:

#f (x) = x ^ 4-8x ^ 2-12 #

#f '(x) = 4x ^ 3-16x #

Gleichsetzen auf #0# und lösen:

# 0 = 4x ^ 3-16x #

# 0 = x ^ 3-4x #

# 0 = x (x ^ 2-4) #

# x = 0 # und # x ^ 2-4 = 0 #

So sind die Lösungen #0,2,# und #-2#.

Wir werden sofort los #0# und #2# weil sie nicht im Intervall sind #-3,-1#nur verlassen # x = -3, -2, # und #-1# als mögliche Orte, an denen Extreme auftreten können.

Abschließend werten wir diese nacheinander aus, um zu sehen, was die absoluten Min und Max sind:

#f (-3) = - 3 #

#f (-2) = - 28 #

#f (-1) = - 19 #

Deshalb #-3# ist das absolute Maximum und #-28# ist das absolute Minimum des Intervalls #-3,-1#.

Was sind die absoluten Extrema von f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 in [0,3]?

Auf [0,3] ist das Maximum 19 (bei x = 3) und das Minimum ist -1 (bei x = 1). Um die absoluten Extremwerte einer (kontinuierlichen) Funktion in einem geschlossenen Intervall zu finden, wissen wir, dass das Extrema entweder an kritischen Zahlen im Intervall oder an den Endpunkten des Intervalls auftreten muss. f (x) = x ^ 3-3x + 1 hat die Ableitung f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 ist niemals undefiniert und 3x ^ 2-3 = 0 bei x = + - 1. Da -1 nicht im Intervall [0,3] liegt, wird es verworfen. Die einzige kritische Zahl, die berücksichtigt werden muss, ist 1. f (0) = 1 f (1) = -1 und f (3) = 19. Das Maximum ist also 19 (be

Welcher Satz garantiert die Existenz eines absoluten Maximalwerts und eines absoluten Minimalwerts für f?

Im Allgemeinen kann nicht garantiert werden, dass ein absoluter Maximal- oder Mindestwert von f vorliegt. Wenn f in einem geschlossenen Intervall [a, b] stetig ist (d. H. In einem geschlossenen und begrenzten Intervall), garantiert der Extremwertsatz das Vorhandensein eines absoluten Maximums oder Minimums von f im Intervall [a, b]. .

Wie finden Sie die absoluten maximalen und absoluten Mindestwerte von f für das angegebene Intervall: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) auf [-1, 5]?

Reqd. Extremwerte sind -25/2 und 25/2. Wir verwenden die Substitution t = 5sinx, t in [-1,5]. Beachten Sie, dass diese Substitution zulässig ist, da t in [-1,5] rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 rArr -1/5 <= sinx <= 1 ist, was gilt. als Bereich der Sünde Spaß. ist [-1,1]. Nun ist f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x, da -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25/2sin2x <= 25/2 rArr-25/2 <= f (t) <= 25/2 Extremitäten sind -25/2 und 25/2.