Was ist die Inverse von f (x) = -ln (arctan (x))?

Antworten:

# f ^ -1 (x) = tan (e ^ -x) #

Erläuterung:

Eine typische Methode zum Auffinden einer Umkehrfunktion ist das Setzen #y = f (x) # und dann für lösen # x # erhalten #x = f ^ -1 (y) #

Wenn wir das hier anwenden, beginnen wir mit

#y = -ln (arctan (x)) #

# => -y = ln (arctan (x)) #

# => e ^ -y = e ^ (ln (arctan (x))) = arctan (x) # (durch die Definition von # ln #)

# => tan (e ^ -y) = tan (arctan (x)) = x # (durch die Definition von # arctan #)

So haben wir # f ^ -1 (x) = tan (e ^ -x) #

Wenn wir dies über die Definition bestätigen wollen # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = x #

erinnere dich daran #y = f (x) # also haben wir schon

# f ^ -1 (y) = f ^ -1 (f (x)) = x #

Für die umgekehrte Richtung

#f (f ^ -1 (x)) = -ln (arctan (tan (e ^ -x)) #

# => f (f ^ -1 (x)) = -ln (e ^ -x) #

# => f (f ^ -1 (x)) = - (- x * ln (e)) = - (- x * 1) #

# => f (f ^ -1 (x)) = x #