Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im folgenden unendlich wiederholten Spiel zu gewinnen?

Antworten:

# "Antwort D)" #

Erläuterung:

# "Es ist die einzige logische Antwort, die anderen sind unmöglich." #

# "Dies ist das Ruin-Problem des Spielers." #

# "Ein Spieler beginnt mit k Dollar." #

# "Er spielt, bis er G-Dollar erreicht oder auf 0 zurückfällt." #

#p = "Chance, dass er 1 Dollar in einem Spiel gewinnt." #

#q = 1 - p = "Chance, dass er in einem Spiel 1 Dollar verliert." #

# "R_k" die Wahrscheinlichkeit (Chance) nennen, dass er ruiniert wird. "#

#"Dann haben wir"#

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1} "mit" 1 <= k <= G-1 #

# "Wir können diese Gleichung aufgrund von p + q = 1 wie folgt umschreiben:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "Jetzt haben wir den Fall" p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "Für" r_k "haben wir" #

#r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "Spieler A beginnt hier also mit k = einem Dollar und spielt bis" #

# "Er wird ruiniert oder hat einen Dollar." #

# => k = a, "und" G = a + b #

# "Die Chancen, dass er ruiniert wird, sind" #

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "Die Chancen, die er gewinnt, sind" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => "Antwort D)" #