Sei N die kleinste ganze Zahl mit 378 Teilern. Wenn N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, wie lautet der Wert von {a, b, c, d} in NN?

$Sei N die kleinste ganze Zahl mit 378 Teilern. Wenn N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, wie lautet der Wert von {a, b, c, d} in NN?$

Antworten:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19.051.200 #

Erläuterung:

Eine Nummer gegeben # n # mit Primfaktorisierung #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, jeder Teiler von # n # ist von der Form # p_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # woher #beta_i in {0, 1, …, alpha_i} #. Da gibt es # alpha_i + 1 # Wahlmöglichkeiten für jeden # beta_i #die Anzahl der Teiler von # n # ist gegeben durch

# (alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

Wie # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #die Anzahl der Teiler von # N # ist gegeben durch # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. Deshalb ist es unser Ziel zu finden #(A B C D)# so dass das obige Produkt hält und # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # ist minimal. Da wir minimieren, werden wir von diesem Punkt an davon ausgehen #a> = b> = c> = d # (Wenn dies nicht der Fall wäre, könnten wir Exponenten austauschen, um bei gleicher Anzahl von Teilern ein geringeres Ergebnis zu erhalten).

Bemerken, dass # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #können wir die möglichen Fälle berücksichtigen, in denen #378# wird als Produkt von vier ganzen Zahlen geschrieben # k_1, k_2, k_3, k_4 #. Wir können diese untersuchen, um zu sehen, für welches das geringste Ergebnis erzielt wird # N #.

Format: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3,3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1,7xx10 ^ 9 #

#Farbe (rot) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2,4xx10 ^ 9 #

Wir können hier aufhören, da es in jedem weiteren Fall einige Fälle geben wird #k_i> = 27 #geben # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, das ist schon größer als unser bester Fall.

Durch die obige Arbeit dann die #(A B C D)# was ein Minimum erzeugt # N # mit #378# Teiler ist # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #geben #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19.051.200 #

Joe spielt ein Spiel mit einem normalen Würfel. Wenn die Zahl gerade erscheint, erhält er das Fünffache der Zahl, die erscheint. Wenn es ungerade ist, verliert er das 10-fache der Zahl, die auftaucht. Er wirft eine 3. Was ist das Ergebnis als ganze Zahl?

-30 Wie das Problem besagt, verliert Joe das 10-fache der ungeraden Zahl (3). -10 * 3 = -30

Was ist eine reelle Zahl, eine ganze Zahl, eine ganze Zahl, eine rationale Zahl und eine irrationale Zahl?

Erklärung unten Rational Zahlen gibt es in drei verschiedenen Formen. ganze Zahlen, Brüche und terminierende oder wiederkehrende Dezimalzahlen wie 1/3. Irrationale Zahlen sind ziemlich "unordentlich". Sie können nicht als Brüche geschrieben werden, sie sind niemals endende Dezimalzahlen. Ein Beispiel dafür ist der Wert von π. Eine ganze Zahl kann als ganze Zahl bezeichnet werden und ist entweder eine positive oder negative Zahl oder Null. Ein Beispiel hierfür ist 0, 1 und -365.

Wenn Sie meinen Wert nehmen und ihn mit -8 multiplizieren, ist das Ergebnis eine ganze Zahl größer als -220. Wenn Sie das Ergebnis durch die Summe von -10 und 2 dividieren, ist das Ergebnis mein Wert. Ich bin eine vernünftige Zahl. Was ist meine nummer

Ihr Wert ist eine rationale Zahl größer als 27,5 oder 55/2. Wir können diese beiden Anforderungen mit einer Ungleichung und einer Gleichung modellieren. Sei x unser Wert. -8x> -220 (-8x) / (-10 + 2) = x Wir werden zunächst versuchen, den Wert von x in der zweiten Gleichung zu finden. (-8x) / (-10 + 2) = x (-8x) / - 8 = x x = x Dies bedeutet, dass unabhängig vom Anfangswert von x die zweite Gleichung immer wahr ist. Um nun die Ungleichung herauszufinden: -8x> -220 x <27,5 Der Wert von x ist also eine rationale Zahl größer als 27,5 oder 55/2.