Sei p eine nicht singuläre Matrix 1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 + cdots + p ^ n = O (O bezeichnet die Nullmatrix), dann ist p ^ -1?

Antworten:

Die Antwort ist # = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Erläuterung:

Wir wissen das

# p ^ -1p = I #

# I + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n = O #

Beide Seiten mit multiplizieren # p ^ -1 #

# p ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n) = p ^ -1 * O #

# p ^ -1 * 1 + p ^ -1 * p + p ^ -1 * p ^ 2 + …… p ^ -1 * p ^ n = O #

# p ^ -1 + (p ^ -1p) + (p ^ -1 * p * p) + ……… (p ^ -1p * p ^ (n-1)) = O #

# p ^ -1 + (I) + (I * p) + ……… (I * p ^ (n-1)) = O #

Deshalb, # p ^ -1 = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

#p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = 0 # aber # p # durch die hypothese ist dann nicht singulär # p ^ -1 # so

# p ^ -1 p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1) = 0 #

und schlussendlich

# p ^ - 1 = - sum_ (k = 1) ^ (n-1) p ^ k #

Kann auch als gelöst werden

# p ^ -1 = -p (sum_ (k = 0) ^ (n-2) p ^ k) = p (p ^ (n-1) + p ^ n) = p ^ n (1-p) #