Ein Dreieck hat Ecken bei (4, 1), (2, 4) und (0, 2) #. Was sind die Endpunkte der senkrechten Halbierenden des Dreiecks?

Antworten:

Die einfachen Endpunkte sind die Mittelpunkte, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# und die schwierigeren sind, wo die Halbsektoren die anderen Seiten treffen, einschließlich #(8/3,4/3).#

Erläuterung:

Mit den senkrechten Halbierenden eines Dreiecks meinen wir vermutlich die senkrechten Halbierenden jeder Seite eines Dreiecks. Für jedes Dreieck gibt es also drei senkrechte Halbierungen.

Jede senkrechte Winkelhalbierende ist so definiert, dass sie an ihrem Mittelpunkt eine Seite schneidet. Es wird auch eine der anderen Seiten schneiden. Wir nehmen an, dass diese beiden Treffen die Endpunkte sind.

Die Mittelpunkte sind

# D = frac2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frac1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Dies ist wahrscheinlich ein guter Ort, um sich mit parametrischen Darstellungen für Linien und Liniensegmente vertraut zu machen. # t # ist ein Parameter, der sich über die reellen (für eine Zeile) oder von erstrecken kann #0# zu #1# für ein Liniensegment.

Lassen Sie uns die Punkte benennen #A (4,1) #, #B (2,4) # und #C (0,2) #. Die drei Seiten sind:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

Wie # t # von Null bis Eins gehen wir jede Seite nach.

Lass uns eines ausarbeiten. # D # ist der Mittelpunkt von # BC #, # D = frac2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

Der Richtungsvektor von C nach B ist # B-C = (2,2) #. Beim Senkrechten drehen wir die beiden Koeffizienten (hier keine Auswirkung, da sie beide sind) #2#) und einen negieren. Also die parametrische Gleichung für die Senkrechte

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Andere Zeile, andere Parameter.) Wir können sehen, wo sich die einzelnen Seiten treffen.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # prüft, ob die Senkrechtecksektion am Mittelpunkt auf BC trifft.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

Subtrahieren, # t = 2-3 = - 1 #

Das liegt außerhalb des Bereichs, sodass die senkrechte Halbierende von BC nicht auf die Seite AB trifft.

# AC: 4-4t = 2u + 1 Quad Quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

Subtrahieren, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

Das gibt den anderen Endpunkt als

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Das wird lang, also überlasse ich Ihnen die beiden anderen Endpunkte.