Ein Dreieck hat die Ecken A, B und C, die sich bei (3, 5), (2, 9) bzw. (4, 8) befinden. Was sind die Endpunkte und die Länge der Höhe, die durch die Ecke C geht?

Antworten:

Endpunkte #(4,8)# und #(40/17, 129/17) # und Länge # 7 / sqrt {17} #.

Erläuterung:

Ich bin offenbar ein Experte für die Beantwortung von zwei Jahre alten Fragen. Lass uns weitermachen.

Die Höhe durch C ist die Senkrechte zu AB bis C.

Es gibt einige Möglichkeiten, dies zu tun. Wir können die Steigung von AB als berechnen #-4,# dann ist die Steigung der Senkrechten #1/4# und wir können das Treffen der Senkrechten durch C und der Linie durch A und B finden. Versuchen wir es auf andere Weise.

Nennen wir den Fuß der Senkrechten #F (x, y) #. Wir wissen, dass das Punktprodukt des Richtungsvektors CF mit dem Richtungsvektor AB Null ist, wenn sie senkrecht sind:

# (B-A) cdot (F - C) = 0 #

# (1-, 4) cdot (x-4, y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

Das ist eine Gleichung. Die andere Gleichung sagt #F (x, y) # ist auf der Linie durch A und B:

# (y - 5) (2-3) = (x-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

Sie treffen sich wann

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28 #

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

Die Länge CF der Höhe ist

#h = sqrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

Lassen Sie uns dies überprüfen, indem Sie die Fläche mit der Schnürsenkelformel berechnen und dann die Höhe berechnen. A (3,5), B (2,9), C (4,8)

#a = frac 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

#a = frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 h sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} quad quad quad sqrt #