Was sind alle Werte für k, für die int_2 ^ kx ^ 5dx = 0 ist?

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

und

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # aber

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # und

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # so

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

oder

# {(k + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} #

dann endlich

echte Werte #k = {-2,2} #

komplexe Werte #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Antworten:

# k = + - 2 #

Erläuterung:

Wir benötigen:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Integrierend bekommen wir:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 Farbe (weiß) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Vorausgesetzt, dass #k in RR # (gibt es eigentlich #6# Wurzeln, #4# davon sind komplex)

Nun, je nach Kontext des Problems, könnte man das argumentieren #k <2 # (dh # k = -2 #) ist ungültig als #k> = 2 # Um das interne "Richtige" zu machen und diese Lösung auszuschließen, ist es jedoch sinnvoll, beide Lösungen zu berücksichtigen.

Beachten Sie auch das #k = + - 2 # konnte als Lösungen gezeigt werden, ohne tatsächlich eine Integration durchzuführen.

Erstens ist eine Eigenschaft bestimmter Integrale, dass:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

so können wir sofort feststellen # k = 2 # ist eine Lösung.

Zweitens, # x ^ 5 # ist ein ungerade Funktion und ungerade Funktionen erfüllen:

# f (-x) = f (x) #

und Rotationssymmetrie um den Ursprung haben. als solche, wenn #f (x) # ist dann ungerade:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

so können wir sofort feststellen # k = -2 # ist eine Lösung.

Die Integration und die nachfolgenden Berechnungen beweisen jedoch, dass dies die einzigen Lösungen sind!