Wie verifizieren Sie die folgende Identität?

Antworten:

Verwenden Sie einige Trig-Identitäten und viel Vereinfachung. Siehe unten.

Erläuterung:

Beim Umgang mit Dingen wie # cos3x #hilft es, es zu trigonometrischen Funktionen einer Einheit zu vereinfachen # x #; etwas ähnliches # cosx # oder # cos ^ 3x #. Wir können die Summenregel für Cosinus verwenden, um dies zu erreichen:

#cos (alpha + beta) = cosalphacosbeta-sinalphasinbeta #

Also seit # cos3x = cos (2x + x) #, wir haben:

#cos (2x + x) = cos2xcosx-sin2xsinx #

# = (cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx) #

Jetzt können wir ersetzen # cos3x # mit dem obigen Ausdruck:

# (cos3x) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Wir können diese größere Fraktion in zwei kleinere Fraktionen aufteilen:

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx)) / cosx - ((2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Beachten Sie, wie die Kosinusse abbrechen:

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) cancel (cosx)) / cancel (cosx) - ((2sinxcancel (cosx)) (sinx)) / cancelcosx = 1-4sin ^ 2x

# -> cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Fügen Sie nun ein # sin ^ 2x-sin ^ 2x # in die linke Seite der Gleichung (was das Gleiche ist wie das Hinzufügen) #0#). Die Gründe dafür werden in einer Minute klar:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x + (sin ^ 2x-sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Begriffe neu anordnen:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x- (sin ^ 2x + sin ^ 2x + 2sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Verwenden Sie die pythagoräische Identität # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # und kombiniere das # sin ^ 2x #s in den Klammern:

# 1- (4sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Sie können diesen kleinen Trick des Hinzufügens sehen # sin ^ 2x-sin ^ 2x # hat uns erlaubt, die pythagoräische Identität zu verwenden und die # sin ^ 2x # Begriffe.

Und voila:

# 1-4sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Q.E.D.

Wie verifizieren Sie die Identität sec ^ 2 (x / 2) = (2secx + 2) / (secx + 2 + cosx)?

Zum Nachweis erforderlich: sec ^ 2 (x / 2) = (2secx + 2) / (secx + 2 + cosx) "Rechte Seite" = (2secx + 2) / (secx + 2 + cosx) Beachten Sie, dass secx = 1 ist / cosx => (2 * 1 / cosx + 2) / (1 / cosx + 2 + cosx) Nun oben und unten mit cosx => (cosx xx (2 * 1 / cosx + 2)) / (cosx xx) multiplizieren (1 / cosx + 2 + cosx)) (2 + 2cosx) / (1 + 2cosx + cos ^ 2x) Faktorisieren Sie den Boden, => (2 (1 + cosx)) / (1 + cosx) ^ 2 = > 2 / (1 + cosx) Die Identität abrufen: cos2x = 2cos ^ 2x-1 => 1 + cos2x = 2cos ^ 2x Ähnlich: 1 + cosx = 2cos ^ 2 (x / 2) => "Right Hand Side" = 2 / (2cos ^

Wie verifizieren Sie die Identität tanthetacsc ^ 2theta-tantheta = cottheta?

Beweis unter Tantheta * csc ^ 2theta - tantheta = sintheta / costheta * (1 / sintheta) ^ 2 - sintheta / costheta = sintheta / costheta * 1 / sin ^ 2theta - sintheta / costheta = 1 / (sinthetacostheta) - sintheta / costheta = (1-sin 2 theta) / (sinthetacostheta) = cos 2 theta / (sinthetacostheta) = costheta / sintheta = cottheta Man beachte, dass sin 2 theta + cos 2 theta = 1, also cos 2 theta = 1 sin 2 theta

Wie verifizieren Sie die Identität sec ^ 4theta = 1 + 2tan ^ 2theta + tan ^ 4theta?

Beweis unten Zuerst beweisen wir 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta: sin ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1 sin ^ 2theta / cos ^ 2theta + cos ^ 2theta / cos ^ 2theta = 1 / cos ^ 2theta tan ^ 2 theta + 1 = (1 / costheta) ^ 2 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta Nun können wir Ihre Frage beweisen: sec ^ 4theta = (sec ^ 2theta) ^ 2 = (1 + tan ^ 2theta) ^ 2 = 1 + 2tan ^ theta + tan ^ 4theta