Was ist der Bereich von y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

Lassen Sie uns zunächst die Domäne betrachten:

Für welche Werte von # x # ist die Funktion definiert?

Der Zähler # (1-x) ^ (1/2) # wird nur definiert wenn # (1-x)> = 0 #. Hinzufügen # x # zu beiden Seiten davon finden Sie #x <= 1 #.

Wir verlangen außerdem, dass der Nenner nicht Null ist.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # ist Null wenn #x = -1 / 2 # und wann #x = -1 #.

Die Domäne der Funktion ist also

# {x in RR: x <= 1 und x! = -1 und x! = -1/2} #

Definieren #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # auf dieser Domain.

Lassen Sie uns jedes zusammenhängende Intervall in der Domäne separat betrachten:

Lassen Sie in jedem Fall #epsilon> 0 # eine kleine positive Zahl sein.

Fall (a): #x <-1 #

Für große negative Werte von # x #, #f (x) # ist klein und positiv.

Wenn am anderen Ende dieses Intervalls, wenn #x = -1 - epsilon # dann

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2xx -1) +1) (-1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # wie #epsilon -> 0 #

So für #x <-1 # der Bereich von #f (x) # ist # (0, + oo) #

Fall (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # wie #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

So für # -1 / 2 <x <= 1 # der Bereich von #f (x) # ist # 0, + oo) #

Fall (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2xx-1) + 1) (-1 + epsilon + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # wie #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (-1 / 2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # wie #epsilon -> 0 #

Die interessante Frage ist also, was der Maximalwert ist #f (x) # in diesem Intervall. Um den Wert von zu finden # x # für die dies auftritt, suchen Sie nach der Ableitung Null.

# d / (dx) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

Dies ist Null, wenn der Zähler Null ist. Daher möchten wir Folgendes lösen:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 #

Multipliziere durch mit # 2 (1-x) ^ (1/2) # bekommen:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

Das ist:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

was hat wurzeln # (5 + - Quadrat (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + - Quadrat (194)) / 12 #

Von diesen Wurzeln #x = (5-sqrt (194)) / 12 # fällt in dem betreffenden Intervall.

Ersetzen Sie dies wieder in #f (x) # um das Maximum von #f (x) in diesem Intervall zu ermitteln (ungefähr -10).

Das scheint mir zu komplex. Habe ich Fehler gemacht?

Antworten: Der Bereich der Funktion ist # (- oo, -10.58 uu 0, oo) #

Zum #x in (-oo, -1) # #-># #y in (0, oo) #

Zum #x in (-1, -0.5) # #-># #y in (-oo, -10.58 #

Zum #x in (-0,5, 1 # #-># #y in 0, oo) #