Welche Bedeutung haben die verschiedenen Zahlenmengen wie real, rational, irrational usw.?

Welche Bedeutung haben die verschiedenen Zahlenmengen wie real, rational, irrational usw.?
Anonim

Antworten:

Ein paar Gedanken …

Erläuterung:

Hier könnte man viel zu viel sagen, aber hier sind ein paar Gedanken …

Was ist eine nummer

Wenn wir in der Lage sein wollen, über Zahlen und die Dinge, die sie messen oder die Sprache zur Verfügung stellen, zu urteilen, dann brauchen wir feste Grundlagen.

Wir können von ganzen Zahlen ausgehen: 0, 1, 2, 3, 4,…

Wenn wir mehr Dinge zum Ausdruck bringen wollen, stoßen wir auch auf das Bedürfnis nach negativen Zahlen. Deshalb erweitern wir unsere Vorstellung von Zahlen auf die ganzen Zahlen: 0, +-1, +-2, +-3, +-4,…

Wenn wir eine beliebige Zahl durch eine beliebige Zahl ungleich Null teilen möchten, erweitern wir unsere Vorstellung von Zahlen auf rationale Zahlen p / q woher p, q sind ganze Zahlen und q! = 0 .

Dann stoßen wir auf Unannehmlichkeiten wie die Tatsache, dass die Diagonale eines Quadrats mit rationalen Seiten eine Länge hat, die wir nicht als rationale Zahl ausdrücken können. Um das zu beheben, müssen wir Quadratwurzeln einführen - eine Art irrationale Zahl. Quadratwurzeln ermöglichen es uns, Gleichungen wie:

x ^ 2 + 4x + 1 = 0

Oft, wenn wir mit irrationalen Zahlen umgehen sqrt (2) Wir lassen sie entweder in algebraischer Form oder verwenden Dezimal-Annäherungen wie sqrt (2) ~~ 1.414213562 .

Beachten Sie, dass die Zahlen, über die wir bisher gesprochen haben, eine natürliche Gesamtordnung haben - wir können sie so auf einer Zeile platzieren, dass zwei beliebige Zahlen verglichen werden können.

Was ist mit der ganzen Linie?

Sie wird allgemein als reelle Zahlenlinie bezeichnet, wobei jeder Punkt der Linie einer Zahl zugeordnet ist.

Wie können wir generell über Zahlen in dieser Zeile denken?

Wir können die Gesamtreihenfolge, die arithmetischen Eigenschaften verwenden und die reellen Zahlen anhand der Grenzen charakterisieren. Grundsätzlich beinhaltet das Nachdenken über reelle Zahlen mehr solcher Denkweisen.

Wird die Mathematik also komplizierter, wenn wir von natürlichen Zahlen zu reellen Zahlen übergehen? Nein, es wird anders - sehr unterschiedlich. Ein ungelöstes Problem in der Mathematik ist zum Beispiel:

Gibt es unendlich viele Prim-Paare - d. H. Zahlenpaare p und p + 2 so dass beide erstklassig sind.

Das hört sich einfach an, aber das Beste, was wir bisher tun können, ist zu zeigen, dass es unendlich viele Prim-Paare der Form gibt p , p + 246 und selbst das ist sehr kompliziert.