Wie lauten die horizontalen und vertikalen Asumptoten von f (x) = (7x ^ 2) / (9x ^ 2-16)?

Antworten:

# "vertikale Asymptoten bei" x = + - 4/3 #

# "horizontale Asymptote bei" y = 7/9 #

Erläuterung:

Der Nenner von f (x) kann nicht Null sein, da dies f (x) undefiniert machen würde. Durch Gleichsetzen des Nenners mit Null und Lösen werden die Werte angegeben, die x nicht sein kann. Wenn der Zähler für diese Werte nicht Null ist, handelt es sich um vertikale Asymptoten.

lösen: # 9x ^ 2-16 = 0rArrx ^ 2 = 16 / 9rArrx = + - 4/3 #

# rArrx = -4 / 3 "und" x = 4/3 "sind die Asymptoten" #

Horizontale Asymptoten treten als auf

#lim_ (xto + -oo), f (x) toc "(eine Konstante)" #

Teile des Zählers / Nenners durch die höchste Potenz von x dividieren # x ^ 2 #

#f (x) = ((7x ^ 2) / x ^ 2) / ((9x ^ 2) / x ^ 2-16 / x ^ 2) = 7 / (9-16 / x ^ 2) #

wie # xto + -oo, f (x) bis7 / (9-0) #

# rArry = 7/9 "ist die Asymptote" #

Graph {(7x ^ 2) / (9x ^ 2-16) -10, 10, -5, 5}

Antworten:

Die vertikalen Asymptoten sind # x = -4 / 3 # und # x = 4/3 #

Die horizontale Asymptote ist # y = 7/9 #

Erläuterung:

Der Nenner

x

# = 9x ^ 2-16 = (3x-4) (3x + 4) #

Die Domäne von #f (x) # ist #D_f (x) = RR - {- 4 / 3,4 / 3} #

Da können wir uns nicht teilen #0#, #x! = - 4/3 # und #x! = 4/3 #

Die vertikalen Asymptoten sind # x = -4 / 3 # und # x = 4/3 #

Um die horizontalen Grenzen zu ermitteln, berechnen wir die Grenzen von #f (x) # wie #x -> + - oo #

Wir haben die höchsten Werte im Zähler und Nenner.

x#lim_ (x -> + - oo) f (x) = lim_ (x -> + - oo) (7x ^ 2) / (9x ^ 2) = 7/9 #

Die horizontale Asymptote ist # y = 7/9 #

Graph {7x ^ 2 / (9x ^ 2-16) -10, 10, -5, 5}