Int_2 ^ 3 (2x + 1) / (x ^ 3 - 5x ^ 2 + 4x) dx?

Antworten:

#-1.11164#

Erläuterung:

# "Dies ist das Integral einer rationalen Funktion." #

# "Das Standardverfahren ist das Aufteilen in Teilbruchteile." #

# "Zuerst suchen wir nach den Nullen des Nenners:" #

# x ^ 3 - 5 x ^ 2 + 4 x = 0 #

# => x (x - 1) (x - 4) = 0 #

# => x = 0, 1 oder 4 #

# "Also teilen wir uns in Teilbrüche auf:" #

# (2x + 1) / (x ^ 3-5x ^ 2 + 4x) = A / x + B / (x-1) + C / (x-4) #

# => 2x + 1 = A (x-1) (x-4) + B x (x-4) + C x (x-1) #

# => A + B + C = 0, -5A - 4B - C = 2, 4A = 1 #

# => A = 1/4, B = -1, C = 3/4 #

#"Also haben wir"#

# (1/4) int {dx} / x - int {dx} / (x-1) + (3/4) int {dx} / (x-4) #

# = (1/4) ln (| x |) - ln (| x-1 |) + (3/4) ln (| x-4 |) + C #

# "Jetzt bewerten wir zwischen 2 und 3:" #

# = (1/4) In (3) - In (2) + Aufheben ((3/4) In (1)) - (1/4) In (2) + Aufheben (In (1)) - (3) / 4) ln (2) #

# = (1/4) ln (3) - 2 ln (2) #

#= -1.11164#