Wie lösen Sie die polynomiale Ungleichung und geben die Antwort in Intervallnotation bei x ^ 6 + x ^ 3> = 6 an?

Antworten:

Die Ungleichung hat eine quadratische Form.

Erläuterung:

Schritt 1: Wir benötigen Null auf einer Seite.

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #

Schritt 2: Da die linke Seite aus einem konstanten Term, einem mittleren Term und einem Term besteht, dessen Exponent genau doppelt so hoch ist wie der mittlere Term, ist diese Gleichung quadratisch "in Form". Entweder fassen wir es als Quadrat an oder verwenden die Quadratische Formel. In diesem Fall können wir einkalkulieren.

Genauso wie # y ^ 2 + y - 6 = (y + 3) (y - 2) #, wir haben nun

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = (x ^ 3 + 3) (x ^ 3 - 2) #.

Wir behandeln # x ^ 3 # als wäre es eine einfache Variable, y.

Wenn es hilfreicher ist, können Sie es ersetzen #y = x ^ 3 #, dann nach y suchen und schließlich wieder in x einsetzen.

Schritt 3: Setzen Sie jeden Faktor separat auf Null und lösen Sie die Gleichung # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = 0 #. Wir finden, wo die linke Seite gleich Null ist, da diese Werte die Grenzen unserer Ungleichung darstellen.

# x ^ 3 + 3 = 0 #

# x ^ 3 = -3 #

#x = -wurzel (3) 3 #

# x ^ 3 -2 = 0 #

# x ^ 3 = -2 #

#x = Wurzel (3) 2 #

Dies sind die zwei wirklichen Wurzeln der Gleichung.

Sie trennen die reale Linie in drei Intervalle:

# (- oo, -wurzel (3) 3); (Wurzel (3) 3, Wurzel (3) 2); und (Wurzel (3) 2, oo) #.

Schritt 4: Bestimmen Sie das Vorzeichen der linken Seite der Ungleichung in jedem der obigen Intervalle.

Die Verwendung von Testpunkten ist die übliche Methode. Wählen Sie aus jedem Intervall einen Wert aus, und ersetzen Sie ihn durch x auf der linken Seite der Ungleichung. Wir könnten -2, dann 0 und dann 2 wählen.

Sie werden feststellen, dass die linke Seite ist

positiv auf # (- oo, -wurzel (3) 3) #;

negativ auf # (- Wurzel (3) 3, Wurzel (3) 2) #;

und positiv auf # (Wurzel (3) 2, oo) #.

Schritt 5: Beenden Sie das Problem.

Wir möchten wissen wo # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #.

Wir wissen jetzt, wo die linke Seite gleich 0 ist, und wir wissen, wo sie positiv ist. Schreiben Sie diese Informationen in Intervallform als:

# (- oo, -wurzel (3) 3 uu Wurzel (3) 2, oo) #.

HINWEIS: Wir haben die Klammern, weil die beiden Seiten der Ungleichheit an diesen Punkten gleich sind und das ursprüngliche Problem es für uns erfordert umfassen diese Werte. Hatte das Problem gebraucht #># anstatt # ge #hätten wir Klammern verwendet.