Das Verhältnis zweier positiver reeller Zahlen ist p + sqrt (p ^ 2 - q ^ 2): p-sqrt (p ^ 2 - q ^ 2) und dann das Verhältnis von AM und GM?

Antworten:

# p / q #.

Erläuterung:

Lass die Nr. Sein #x und y, "wo, x, y" in RR ^ + #.

Durch das, was gegeben ist, #x: y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)):(p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

#:. x / (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = y / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = lambda, "say" #.

#:. x = Lambda (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) und y = Lambda (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

Jetzt die AM #EIN# von # x, y # ist # A = (x + y) / 2 = lambdap #, und ihre

GM # G = sqrt (xy) = sqrt lambda ^ 2 {p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)} = lambdaq #.

Deutlich, # "das gewünschte Verhältnis" = A / G = (Lambdap) / (Lambdaq) = p / q #.

Antworten:

# p / q #

Erläuterung:

Ich werde dieselbe Notation wie in dieser Antwort verwenden. In der Tat gibt es keine wirkliche Notwendigkeit für diese Lösung (da das Problem bereits ziemlich gut gelöst wurde) - außer dass sie die Verwendung einer Technik veranschaulicht, die ich sehr liebe!

Nach dem problem

# x / y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) / (p - sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #

Mit dem Komponieren und Dividenden (das ist die Lieblingstechnik, auf die ich oben anspielte) erhalten wir

# (x + y) / (x-y) = p / sqrt (p ^ 2-q ^ 2) impliziert #

# ((x + y) / (x-y)) ^ 2 = p ^ 2 / (p ^ 2-q ^ 2) impliziert #

# (x + y) ^ 2 / ((x + y) ^ 2- (x-y) ^ 2) = p ^ 2 / (p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)) impliziert #

# (x + y) ^ 2 / (4xy) = p ^ 2 / q ^ 2 impliziert #

# (x + y) / (2sqrt (xy)) = p / q #

• Das ist das erforderliche Verhältnis von AM: GM.