Was ist sqrt (3 + i) in einer + bi-Form gleich?

Antworten:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Annehmen # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Wir setzen also Real- und Imaginärteil gleich:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

Daher #b = 1 / (2a) #, die wir in die erste Gleichung einsetzen können, um zu erhalten:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Multipliziere beide Enden mit # 4a ^ 2 # bekommen:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

So:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

Aus der quadratischen Formel erhalten wir:

# a ^ 2 = (12 + - Quadrat (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + - Quadrat (160)) / 8 = (3 + - Quadrat (10)) / 2 #

Schon seit #sqrt (10)> 3 #, wählen Sie das #+# unterschreiben, um echte Werte zu erhalten #ein#:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

woher # b # hat das gleiche Zeichen wie #ein# schon seit #b = 1 / (2a) #

Die Hauptwurzelwurzel liegt in Q1 mit #a, b> 0 #

Das ist:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Wenn ja #c, d> 0 # dann können wir auf ähnliche Weise zeigen:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sq (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sq (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) ich#