Wie vereinfacht man 2cos ^ 2 (4θ) -1 mit einer Doppelwinkelformel?

Antworten:

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 = cos (8 theta) #

Erläuterung:

Es gibt mehrere Doppelwinkelformeln für Cosinus. Normalerweise ist der bevorzugte derjenige, der aus einem Cosinus einen anderen Cosinus macht:

# cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

Wir können dieses Problem tatsächlich in zwei Richtungen annehmen. Der einfachste Weg ist zu sagen # x = 4 theta # also bekommen wir

# cos (8 theta) = 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

das ist ziemlich vereinfacht.

Der übliche Weg zu gehen ist, dies in Bezug auf # cos theta #. Wir beginnen mit dem Vermieten # x = 2 theta #

# 2 cos ^ 2 (4 Theta) - 1 #

# = 2 cos ^ 2 (2 (2 theta)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 theta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 theta -1) ^ 2 -1) ^ 2 -1 #

# = 128 cos ^ 8 theta - 256 cos ^ 6 theta + 160 cos ^ 4 theta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

Wenn wir uns setzen # x = cos theta # wir hätten das achte Chebyshev-Polynom der ersten Art, # T_8 (x) #, befriedigend

#cos (8x) = T_8 (cos x) #

Ich denke, der erste Weg war wahrscheinlich das, wonach sie gesucht haben.

Ein Objekt mit einer Masse von 8 kg befindet sich auf einer Rampe mit einer Steigung von pi / 8. Wenn das Objekt mit einer Kraft von 7 N an der Rampe nach oben gedrückt wird, wie hoch ist dann der minimale Haftreibungskoeffizient, damit das Objekt bleiben kann?

Die Gesamtkraft, die entlang der Ebene auf das Objekt nach unten wirkt, ist mg sin ((pi) / 8) = 8 * 9,8 * sin ((pi) / 8) = 30N. Die aufgebrachte Kraft ist entlang der Ebene 7N nach oben. Die Nettokraft auf das Objekt beträgt also 30-7 = 23N entlang der Ebene. Daher sollte eine statische Reibungskraft, die zum Ausgleich dieses Kraftbetrags wirken muss, entlang der Ebene nach oben wirken. Hier ist die statische Reibungskraft, die wirken kann, mu mg cos ((pi) / 8) = 72,42 mN (wobei mu der Koeffizient der statischen Reibungskraft ist). Also 72,42 mu = 23 oder mu = 0,32

Eine Feder mit einer Konstante von 9 (kg) / s ^ 2 liegt am Boden, wobei ein Ende an einer Wand befestigt ist. Ein Objekt mit einer Masse von 2 kg und einer Geschwindigkeit von 7 m / s kollidiert mit der Feder und drückt sie zusammen, bis sie sich nicht mehr bewegt. Wie viel komprimiert die Feder?

Delta x = 7 / 3sqrt2 "" m E_k = 1/2 * m * v ^ 2 Die kinetische Energie des Objekts E_p = 1/2 * k * Delta x ^ 2 Die potentielle Energie des Federspeichers E_k = E_p "Energieerhaltung" annullieren (1/2) * m * v ^ 2 = annullieren (1/2) * k * Delta x ^ 2 m * v ^ 2 = k * Delta x ^ 2 * 7 ^ 2 = 9 * Delta x ^ 2 Delta x = sqrt (2 * 7 ^ 2/9) Delta x = 7 / 3sqrt2 "" m

Eine Feder mit einer Konstante von 4 (kg) / s ^ 2 liegt mit einem Ende an einer Wand auf dem Boden. Ein Objekt mit einer Masse von 2 kg und einer Geschwindigkeit von 3 m / s kollidiert mit der Feder und drückt sie zusammen, bis sie sich nicht mehr bewegt. Wie viel komprimiert die Feder?

Die Feder wird 1,5 m komprimiert. Sie können dies mit dem Hooke'schen Gesetz berechnen: F = -kx F ist die Kraft, die auf die Feder ausgeübt wird, k ist die Federkonstante und x ist der Abstand, den die Feder komprimiert. Sie versuchen x zu finden. Sie müssen k kennen (Sie haben dies bereits) und F. Sie können F berechnen, indem Sie F = ma verwenden, wobei m Masse und a Beschleunigung ist. Sie erhalten die Masse, müssen aber die Beschleunigung kennen. Um die Beschleunigung (oder die Verzögerung in diesem Fall) mit den Informationen zu ermitteln, die Sie haben, verwenden Sie diese bequeme Um