Antworten:
Siehe unten.
Erläuterung:
Lassen # 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha) #, Hier # r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2 costheta) #
= #sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2) -2) = 2cos (theta / 2) #
und # tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (Theta / 2) cos (Theta / 2)) / (2cos ^ 2 (Theta / 2)) = tan (Theta / 2) # oder # alpha = Theta / 2 #
dann # 1 + Costheta-isintheta = r (cos (-alpha) + Isin (-alpha)) = r (cosalpha-isinalpha) #
und wir können schreiben # (1 + costheta + isintheta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n # unter Verwendung des Satzes von DE MOivre als
# r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) #
= # 2r ^ ncosnalpha #
= # 2 * 2 ^ ncos ^ n (Theta / 2) cos ((Ntheta) / 2) #
= # 2 ^ (n + 1) cos ^ n (Theta / 2) cos ((ntheta) / 2) #
