Wie findet man z, z ^ 2, z ^ 3, z ^ 4 bei z = 1/2 (1 + sqrt3i)?

Antworten:

#z = cos (pi / 3) + isin (pi / 3) #

# z ^ 2 = cos (2pi / 3) + isin (2pi / 3) = 1/2 (-1 + sqrt (3) i) #

# z ^ 3 = cos (3pi / 3) + isin (3pi / 3) = -1 #

# z ^ 4 = cos (4pi / 3) + isin (4pi / 3) = -1/2 (1 + sqrt (3) i) #

Erläuterung:

Die einfachste Methode ist der Satz von De Moivre. Für komplexe nummer # z #

# z = r (Costheta + Isintheta) #

# z ^ n = r ^ n (cosntheta + isinntheta) #

Wir wollen also unsere komplexe Zahl in eine Polarform umwandeln. Das modul # r # einer komplexen Zahl # a + bi # ist gegeben durch

#r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #

#r = sqrt ((1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2) = sqrt (1/4 + 3/4) = 1 #

Die komplexe Zahl befindet sich im ersten Quadranten eines Argand-Diagramms, sodass das Argument gegeben wird durch:

#theta = tan ^ (- 1) (b / a) #

#theta = tan ^ (- 1) ((sqrt (3) / 2) / (1/2)) = tan ^ (-1) (sqrt (3)) = pi / 3 #

#z = cos (pi / 3) + isin (pi / 3) #

# z ^ 2 = cos (2pi / 3) + isin (2pi / 3) = 1/2 (-1 + sqrt (3) i) #

# z ^ 3 = cos (3pi / 3) + isin (3pi / 3) = -1 #

# z ^ 4 = cos (4pi / 3) + isin (4pi / 3) = -1/2 (1 + sqrt (3) i) #