Was ist die Standardform der Gleichung der Parabel mit einer Directrix bei x = 9 und einem Fokus bei (8,4)?

Antworten:

Die Standardform ist: #x = -1 / 2y ^ 2 + 4y + 1/2 #

Erläuterung:

Da die Directrix eine vertikale Linie ist, weiß man, dass die Scheitelpunktform der Gleichung für die Parabel lautet:

#x = 1 / (4f) (y-k) ^ 2 + h "1" #

woher # (h, k) # ist der Scheitelpunkt und # f # ist der vorzeichenbehaftete horizontale Abstand vom Scheitelpunkt zum Fokus.

Die x-Koordinate des Scheitelpunkts auf halbem Weg zwischen Directrix und Fokus:

#h = (9 + 8) / 2 #

#h = 17/2 #

Ersatz in Gleichung 1:

#x = 1 / (4f) (y-k) ^ 2 + 17/2 "2" #

Die y-Koordinate des Scheitelpunkts stimmt mit der y-Koordinate des Fokus überein:

#k = 4 #

Ersatz in Gleichung 2:

#x = 1 / (4f) (y-4) ^ 2 + 17/2 "3" #

Der Wert von # f # ist der vorzeichenbehaftete horizontale Abstand vom Scheitelpunkt zum Fokus #

#f = 8-17 / 2 #

#f = -1 / 2 #

Ersatz in Gleichung 3:

#x = 1 / (4 (-1/2)) (y-4) ^ 2 + 17/2 #

Dies ist die Scheitelpunktform:

#x = -1/2 (y - 4) ^ 2 + 17/2 #

Erweitern Sie das Quadrat:

#x = -1/2 (y ^ 2 -8y + 16) + 17/2 #

Verwenden Sie die distributive Eigenschaft:

#x = -1 / 2y ^ 2 + 4y-8 + 17/2 #

Kombinieren Sie wie folgt:

#x = -1 / 2y ^ 2 + 4y + 1/2 #

Hier ist ein Diagramm der Standardform, des Fokus, des Scheitelpunkts und der Directrix: