Wie finden Sie alle Lösungen von 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0?

# 2 cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # zum

#x in {(3pi) / 2 + 2npi, pi / 6 + 2npi, (5pi) / 6 + 2npi} # woher #n in ZZ #

Lösen: # 2cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # (1)

Ersetzen Sie zuerst # cos ^ 2 x # durch # (1 - sin ^ 2 x) #

# 2 (1 - sin ^ 2 x) - sin x - 1 = 0 #.

Anruf # sin x = t #, wir haben:

# -2t ^ 2 - t + 1 = 0 #.

Dies ist eine quadratische Gleichung der Form # at ^ 2 + bt + c = 0 # das kann durch eine Verknüpfung gelöst werden:

#t = (-b + - sqrt (b ^ 2 -4ac)) / (2a) #

oder Factoring zu # - (2t-1) (t + 1) = 0 #

Eine echte Wurzel ist # t_1 = -1 # und der andere ist # t_2 = 1/2 #.

Als nächstes lösen Sie die 2 grundlegenden Triggerfunktionen:

# t_1 = sin x_1 = -1 #

# rarr # # x_1 = pi / 2 + 2npi # (zum #n in ZZ #)

und

# t_2 = sin x_2 = 1/2 #

# rarr # # x_2 = pi / 6 + 2npi #

oder

# rarr # # x_2 = (5pi) / 6 + 2npi #

Überprüfen Sie mit Gleichung (1):

#cos (3pi / 2) = 0; sin (3pi / 2) = -1 #

#x = 3pi / 2 rarr 0 + 1 - 1 = 0 # (richtig)

#cos (pi / 6) = (sqrt 3) / 2 rarr 2 * cos ^ 2 (pi / 6) = 3/2; sin (pi / 6) = 1/2 #.

#x = pi / 6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0 # (richtig)