Standardform zur Scheitelpunktform ?? + Beispiel

Antworten:

Vervollständige das Quadrat

Erläuterung:

Wir möchten von Ihrer Intercept-Form ausgehen # f (x) = ax ^ 2 + bx + c # in Scheitelpunktform #f (x) = a (x-b) ^ 2 + c #

Nehmen wir das Beispiel von

#f (x) = 3x ^ 2 + 5x + 2 #

Wir müssen den Koeffizienten aus der EU herausrechnen # x ^ 2 # und trennen Sie das # ax ^ 2 + bx # von dem # c # So können Sie separat darauf reagieren

#f (x) = 3 (x ^ 2 + 5 / 3x) + 2 #

Wir möchten dieser Regel folgen

# a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 #

oder

# a ^ 2-2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #

Wir wissen das das # a ^ 2 = x ^ 2 # und

# 2ab = 5 / 3x # so # 2b = 5/3 #

Also brauchen wir einfach # b ^ 2 # und dann können wir es zusammenfalten # (a + b) ^ 2 #

so # 2b = 5/3 # so # b = 5/6 # so # b ^ 2 = (5/6) ^ 2 #

Jetzt können wir das hinzufügen # b ^ 2 # Begriff in die Gleichung, wobei zu berücksichtigen ist, dass die Netto-Summe aller Zusätze zu einer Gleichung / einem Ausdruck null sein muss

#f (x) = 3 (x ^ 2 + 5/3 x + (5/6) ^ 2) + 2-3 (5/6) ^ 2 #

Jetzt wollen wir das machen # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 # in # (a + b) ^ 2 # Folgen Sie dem gleichen Vorgang wie oben

#f (x) = 3 (x + 5/6) ^ 2 + 72 / 36-3 (25/36) #

Einfach die Gleichung

#f (x) = 3 (x + 5/6) ^ 2-3 / 36 #

Nun haben wir das Ergebnis in Standardform

Allgemeine Vertexform einer quadratischen Funktion:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2 + f (-b / (2a)) #

In dieser Formel

# (- b / (2a)) # ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts

#f (-b / (2a)) # ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts.

Um fortzufahren, suchen Sie zuerst #x = -b / (2a) #.

Als nächstes finden #f (-b / (2a)) #

Beispiel: Umwandlung in eine Scheitelpunktform ->

#f (x) = x ^ 2 + 2x - 15 #

x-Koordinate des Scheitelpunkts:

#x = - b / (2a) = -2/2 = - 1 #

y-Koordinate des Scheitelpunkts:

#f (-b / (2a)) = f (-1) = 1 - 2 - 15 = - 16 #

Scheitelpunktform:

#f (x) = (x + 1) ^ 2 - 16 #