Sei vec (x) ein Vektor, so dass vec (x) = ( 1, 1) gilt, und sei R (θ) = [(costheta, -sintheta), (sintheta, costheta)], also Rotation Operator. Für Theta = 3/4 pi finde vec (y) = R (theta) vec (x)? Machen Sie eine Skizze, die x, y und θ?

Dies stellt sich als Drehung gegen den Uhrzeigersinn heraus. Können Sie sich vorstellen, um wie viel Grad?

Lassen #T: RR ^ 2 | -> RR ^ 2 # eine lineare Transformation sein, wo

#T (vecx) = R (Theta) vecx, #

#R (Theta) = (Costheta, -sintheta), (Sintheta, Costheta), #

#vecx = << -1,1 >>. #

Beachten Sie, dass diese Transformation als dargestellt wurde Transformationsmatrix #R (Theta) #.

Was es bedeutet, ist seit # R # ist die Rotationsmatrix, die die Rotationstransformation darstellt, die wir multiplizieren können # R # durch # vecx # diese Transformation zu vollbringen.

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx << -1,1 >> #

Für ein # MxxK # und # KxxN # Matrix ist das Ergebnis ein #color (grün) (MxxN) # Matrix, wo # M # ist der Reihe Dimension und # N # ist der Säule Abmessungen. Das ist:

# (y_ (11), y_ (12), …, y_ (1n)), (y_ (21), y_ (22), …, y_ (2n)), (v Punkte, Punkte, Punkte, v Punkte), (y_ (m1), y_ (m2),…, y_ (mn)) #

# = (R_ (11), R_ (12), …, R_ (1k)), (R_ (21), R_ (22),…, R_ (2k)), (v Punkte, v Punkte, d Punkte, v Punkte), (R_ (m1), R_ (m2), …, R_ (mk)) xx (x_ (11), x_ (12),… x_ (1n)), (x_ (21), x_ (22), …, x_ (2n)), (v Punkte, v Punkte, Punkte, v Punkte), (x_ (k1), x_ (k2), …, x_ (kn)) # #

Daher für a # 2xx2 # Matrix multipliziert mit a # 1xx2 #müssen wir den Vektor transponieren, um a zu erhalten # 2xx1 # Spaltenvektor, der uns eine Antwort gibt, die a ist # mathbf (2xx1) # Spaltenvektor.

Multiplizieren dieser beiden ergibt:

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx (- 1), (1) #

# = (-costheta - sintheta), (- sintheta + costheta) #

Als nächstes können wir anschließen #theta = (3pi) / 4 # (Ich gehe davon aus, ist der richtige Winkel), um zu erhalten:

#Farbe (blau) (T (vecx) = R (Theta) vecx) #

# = R (theta) (- 1), (1) #

# = (-cos ((3pi) / 4) - sin ((3pi) / 4)), (- sin ((3pi) / 4) + cos ((3pi) / 4))

# = (-cos135 ^ @ - sin135 ^ @), (- sin135 ^ @ + cos135 ^ @) #

# = (- (- sqrt2 / 2) - sqrt2 / 2), (- sqrt2 / 2 + (-sqrt2 / 2))) #

# = Farbe (blau) ((0), (- sqrt2)) #

Lassen Sie uns dies nun grafisch darstellen, um zu sehen, wie das aussieht. Ich kann sagen, dass es eine ist Rotation gegen den Uhrzeigersinnnach dem Bestimmen des transformierten Vektors.

In der Tat eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn um #135^@#.

HERAUSFORDERUNG: Vielleicht können Sie überlegen, was passiert, wenn die Matrix ist # (costheta, sintheta), (- sintheta, costheta) # stattdessen. Glaubst du, es wird im Uhrzeigersinn sein?