Frage Nr. E0f39

Antworten:

Das grundlegendste Modell ist das idealisierte Wasserstoffatom. Dies kann auf andere Atome verallgemeinert werden, aber diese Modelle wurden nicht gelöst.

Erläuterung:

Ein Atom ist in seiner grundlegendsten Form ein positiv geladenes schweres Teilchen (der Kern), in das sich negativ geladene leichte Teilchen bewegen.

Für das einfachste mögliche Modell nehmen wir an, dass der Kern so schwer ist, dass er im Ursprung fixiert bleibt. Das bedeutet, dass wir den Antrag nicht berücksichtigen müssen. Jetzt bleibt uns das Elektron. Dieses Elektron bewegt das elektrische Feld des geladenen Kerns. Die Natur dieses Feldes wird uns durch die klassische Elektrostatik vermittelt.

Schließlich ignorieren wir relativistische Effekte und Effekte, die durch den Spin des Elektrons verursacht werden, und es bleibt nur ein geladenes Teilchen in einem elektrischen Feld.

Nun identifizieren wir eine Wellenfunktion mit dem Elektron #Psi (vecr, t) #. Wir verwenden das oben beschriebene Modell, um die Schrödinger-Gleichung niederzuschreiben.

# iћdel / (delt) Psi (vecr, t) = - ћ ^ 2 / (2m_e) grad ^ 2 + V (vecr) Psi (vecr, t) #

Der potenzielle Energiebegriff #V (vecr) # kann aus dem Coulomb-Gesetz abgeleitet werden. Die auf das Elektron wirkende Kraft ist gegeben durch

#vecF (vecr) = - q ^ 2 / (4piepsilon_0 || vecr || ^ 3) vecr #

woher # q # ist der absolute Wert der Ladung sowohl des Elektrons als auch des Kerns.

Das Potenzial ergibt sich aus dem folgenden Punkt #Gamma# ist ein Weg, der von unendlich geht, wo das Potenzial ist #0#zu # vecr #:

#V (vecr) = - int_gammavecF (vecs) * dvecs = q ^ 2 / (4piepsilon_0) int_oo ^ r1 / s ^ 2ds = -q ^ 2 / (4piepsilon_0r) #.

Hier haben wir gebraucht # r = || vecr || #.

Das gibt uns:

# iћdel / (delt) Psi (vecr, t) = - ћ ^ 2 / (2m_e) grad ^ 2 + q ^ 2 / (4piepsilon_0r) Psi (vecr, t) #.

Zum Glück ist es uns möglich, Eigenfunktionen und Werte für die Energie, also Funktionen, zu bestimmen #psi (vecr) # und Werte # E # des Formulars

# - ћ ^ 2 / (2m_e) grad ^ 2 + q ^ 2 / (4piepsilon_0r) psi (vecr, t) = Epsi (vecr, t) #

Diese Lösungen sind ziemlich mühsam aufzuschreiben, also werde ich das nur tun, wenn Sie mich darum bitten, aber der Punkt ist, wir können das lösen.

Dies gibt uns ein Energiespektrum für den Wasserstoff plus Wellenfunktionen, die zu jeder Energie gehören, oder die sogenannten Orbitale des Wasserstoffatoms.

Für komplexere Atome ist dies leider nicht mehr der Fall, denn wenn Sie mehrere Atome haben, üben sie auch eine Kraft auf einander aus. Dieses Plus gibt natürlich in der Schrödinginger-Gleichung viele zusätzliche Begriffe an, und es ist bisher niemandem gelungen, das genau zu lösen. Es gibt jedoch Möglichkeiten, die Lösung anzunähern. Was ich hier nicht zeigen werde.