Eine 20 cm lange Schnur wird in zwei Teile geschnitten. Eines der Stücke wird verwendet, um einen Umfang eines Quadrats zu bilden.

Antworten:

# "Minimale Gesamtfläche = 10.175 cm²." #

# "Maximale Gesamtfläche = 25 cm²." #

Erläuterung:

# "Nennen Sie x die Länge des Stücks, um ein Quadrat zu bilden." #

# "Dann ist die Fläche des Quadrats" (x / 4) ^ 2 "." #

# "Der Umfang des Dreiecks ist" 20-x "." #

# "Wenn y eine der gleichen Seiten des Dreiecks ist, dann haben wir" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => Fläche = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Gesamtfläche =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "Dies ist eine Parabole und das Minimum für eine Parabole" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "ist" x = -b / (2 * a) ", wenn a> 0 ist." #

# "Das Maximum ist" x-> oo ", wenn a> 0 ist." #

# "Das Minimum ist also" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #

# = 40 / (12 + 8 Quadrat (2)) / ((6 + 4 Quadrat (2) + 8) / (8 (6 + 4 Quadrat (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-Quadratmeter (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Gesamtfläche =" 10.175 "cm²." #

# "Das Maximum ist entweder x = 0 oder x = 20." #

# "Wir überprüfen den Bereich:" #

# "Wenn" x = 0 => "area =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm²" #

# "Wenn" x = 20 => "Fläche =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# "Die maximale Gesamtfläche beträgt also 25 cm²." #

Antworten:

Die minimale Fläche beträgt #10.1756# und maximal ist #25#

Erläuterung:

Der Umfang eines rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecks der Seite #ein# ist # a + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # und sein Bereich ist # a ^ 2/2 #,

Lass ein Stück sein # x # cm. aus dem wir ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck bilden. Es ist offensichtlich, dass die Seite des rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecks sein würde # x / (2 + sqrt2) # und sein Bereich wäre

# x ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (x ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

Der Umfang eines anderen Abschnitts einer Schnur, der ein Quadrat bildet, ist # (20-x) # und als Seite des Platzes ist # (20-x) / 4 # seine Fläche ist # (20-x) ^ 2/16 # und Gesamtfläche # T # von den beiden ist

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Beobachte das # 3-2sqrt2> 0 #, daher Koeffizient von # x ^ 2 # ist positiv und daher haben wir ein Minimum und können schreiben # T # wie

# T = 0,1054x ^ 2-2,5x + 25 #

= # 0.1054 (x ^ 2-23.7192x + (11.8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11.8596) ^ 2 #

= # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

Wie # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 # ist immer positiv, wir haben einen Mindestwert von # T # wann # x = 11.8596 #.

Beachten Sie, dass theoretisch keine Maxima für die Funktion vorhanden sind, sondern als Wert von # x # liegt zwischen #0,20#, und wann # x = 0 #, wir haben # T = 0,1054 (0-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10.1756 = 25 #

und wann # x = 20 # wann # T = 0,1054 (20-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10.1756 = 17.16 #

und daher ist Maxima #25#

Graph {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11,92, 28,08, -0,96, 19,04}