Ist x ^ 12-y ^ 12 eine Differenz von zwei Quadraten oder eine Differenz von zwei Würfeln?

Es könnte eigentlich beides sein.

Sie können die Eigenschaften von Exponentialkräften verwenden, um diese Terme sowohl als Differenz der Quadrate als auch als Differenz der Würfel zu schreiben.

Schon seit # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, das kannst du sagen

# x ^ (12) = x ^ (6 * Farbe (rot) (2)) = (x ^ (6)) ^ (Farbe (rot) (2)) #

und

# y ^ (12) = (y ^ (6)) ^ (Farbe (rot) (2) #

Das bedeutet, dass Sie bekommen

# x ^ (12) - y ^ (12) = (x ^ (6)) ^ (2) - (y ^ (6)) ^ (2) = (x ^ (6) - y ^ (6)) (x ^ (6) + y ^ (6)) #

Gleichfalls, # x ^ (12) = x ^ (4 * Farbe (rot) (3)) = (x ^ (4)) ^ (Farbe (rot) (3)) # und # y ^ (12) = (y ^ (4)) ^ (Farbe (rot) (3)) #

So kannst du schreiben

# x ^ (12) - y ^ (12) = (x ^ (4)) ^ (3) - (y ^ (4)) ^ (3) = (x ^ 4 - y ^ 4) (x ^ (4)) ^ 2 + x ^ (4) y ^ (4) + (y ^ 4) ^ (2) #

# x ^ 12 - y ^ 12 = (x ^ 4 - y ^ 4) x ^ 8 + x ^ (4) y ^ 4 + y ^ 8 #

Wie Sie sehen, können Sie diese Ausdrücke weiter vereinfachen. So würden Sie diesen Ausdruck vollständig berücksichtigen

# x ^ (12) - y ^ (12) = Unterlauf ((x ^ 6 - y ^ 6)) _ (Farbe (grün) ("Differenz zweier Quadrate")) * Unterlauf ((x ^ 6 + y ^) 6)) _ (Farbe (blau) ("Summe zweier Würfel")) = #

# = Untergang ((x ^ 3 - y ^ 3)) _ (Farbe (grün) ("Differenz zweier Würfel")) * Unterlauf ((x ^ 3 + y ^ 3)) _ (Farbe (blau) (" Summe zweier Würfel ")) * (x ^ 2 + y ^ 2) (x ^ 4 + x ^ 2 * y ^ 2 + y ^ 4) = #

# = (x + y) (x ^ 2-xy + y ^ 2) * (xy) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) * (x ^ 2 + y ^ 2) (x ^ 4 + x ^) 2 * y ^ 2 + y ^ 4) #

# x ^ 12 - y ^ 12 = (x + y) (xy) (x ^ 2 + y ^ 2) (x ^ 2 - xy + y ^ 2) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) (x ^ 4 + x ^ 2 y ^ 2 + y ^ 2) #