Was sind die Tests der Teilbarkeit verschiedener Zahlen?

Es gibt viele Teilbarkeitstests. Hier sind einige davon, wie sie abgeleitet werden können.

• Eine ganze Zahl kann durch geteilt werden #2# wenn die letzte Ziffer gerade ist.

• Eine ganze Zahl kann durch geteilt werden #3# wenn die Summe seiner Ziffern durch 3 teilbar ist.

• Eine ganze Zahl kann durch geteilt werden #4# wenn die durch die letzten beiden Ziffern gebildete Ganzzahl durch 4 teilbar ist.

• Eine ganze Zahl kann durch geteilt werden #5# wenn die letzte Ziffer 5 oder 0 ist.

• Eine ganze Zahl kann durch geteilt werden #6# wenn es durch 2 und 3 teilbar ist.

• Eine ganze Zahl kann durch geteilt werden #7# wenn die letzte Ziffer zweimal von der durch Entfernen der letzten Ziffer gebildeten Ganzzahl abgezogen wird, ist dies ein Vielfaches von 7.

• Eine ganze Zahl kann durch geteilt werden #8# Wenn die durch die letzten drei Ziffern gebildete Ganzzahl durch 8 teilbar ist (dies kann einfacher gemacht werden, indem die Regel für 4s gilt, wenn die Hunderterstelle gerade ist, ansonsten das Gegenteil.)

• Eine ganze Zahl kann durch geteilt werden #9# wenn die Summe der Ziffern durch 9 teilbar ist.

• Eine ganze Zahl kann durch geteilt werden #10# wenn die letzte Ziffer ist #0#

Für diese und mehr, schauen Sie sich die Wikipedia-Seite für Teilbarkeitsregeln an.

Nun mag man sich fragen, wie man diese Regeln aufstellt oder zumindest zeigt, dass sie tatsächlich funktionieren werden. Eine Möglichkeit, dies zu tun, ist eine Art von Mathematik, die als modulare Arithmetik bezeichnet wird.

In der modularen Arithmetik wählen wir eine ganze Zahl aus # n # als die Modul und behandeln dann jede andere ganze Zahl als zu sein kongruent modulo # n # zu seinem Rest, wenn durch geteilt # n #. Eine einfache Möglichkeit, darüber nachzudenken, besteht darin, dass Sie hinzufügen oder entfernen können # n # ohne den Wert einer ganzen Zahl modulo n zu ändern. Dies ist das Gleiche wie bei einer analogen Uhr das Hinzufügen von zwölf Stunden zur gleichen Zeit. Stunden für eine Uhr addieren ist Modulo #12#.

Was die Modulare Arithmetik bei der Bestimmung der Teilbarkeitsregeln sehr nützlich macht, ist das für irgendein ganze Zahl #ein# und positive ganze Zahl # b #, Wir können das sagen #ein# ist teilbar durch # b # dann und nur dann, wenn

# a- = 0 "(mod b)" # (#ein# ist kongruent zu #0# modulo # b #).

Verwenden wir dies, um zu sehen, warum die Teilbarkeitsregel für #3# funktioniert. Wir werden dies an einem Beispiel tun, das das allgemeine Konzept zeigen soll. In diesem Beispiel werden wir sehen, warum #53412# ist teilbar durch #3#. Denken Sie daran, dass Addieren oder Subtrahieren #3# ändert den Wert eines Integer-Moduls nicht #3#.

#53412# ist teilbar durch #3# dann und nur dann, wenn # 53412 - = 0 "(mod 3)" #

Aber auch weil #10 -3 -3 -3 = 1#, wir haben # 10 - = 1 "(mod 3)" #

Somit:

# 53412 - = 5 * 10 ^ 5 + 3 * 10 ^ 4 + 4 * 10 ^ 3 + 1 * 10 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

# - = 5 * 1 ^ 5 + 3 * 1 ^ 4 + 4 * 1 ^ 3 + 1 * 1 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

#Farbe (rot) (- = 5 + 3 + 4 + 1 + 2 "(mod 3)") #

# - = 3 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 "(mod 3)" #

Somit #53412# ist teilbar durch #3#. Der rote Schritt zeigt, warum wir die Ziffern einfach summieren und dies überprüfen können, anstatt zu versuchen, die ursprüngliche Zahl durch zu teilen #3#.