Was ist eine Wellenfunktion und welche Anforderungen werden an sie gestellt, damit sie die physische Realität richtig darstellt?

Antworten:

Die Wellenfunktion ist eine komplexwertige Funktion, deren Amplitude (absoluter Wert) die Wahrscheinlichkeitsverteilung angibt. Sie verhält sich jedoch nicht wie eine gewöhnliche Welle.

Erläuterung:

In der Quantenmechanik sprechen wir über den Zustand eines Systems. Eines der einfachsten Beispiele ist ein Teilchen, das sich in einem Aufwärts- oder Abwärtsspin befinden kann, beispielsweise ein Elektron. Wenn wir den Spin eines Systems messen, messen wir ihn entweder nach oben oder nach unten. In einem Zustand, in dem wir über das Ergebnis der Messung sicher sind, rufen wir einen Eigenzustand (einen Aufwärtszustand) auf # uarr # und ein niederer Staat # darr #).

Es gibt auch Zustände, in denen wir über das Ergebnis der Messung unsicher sind, bevor wir sie messen. Diese Zustände nennen wir eine Überlagerung und wir können sie als aufschreiben # a * uarr + b * darr #. Hier haben wir # | a | ^ 2 # die Wahrscheinlichkeit des Messens # uarr #, und # | b | ^ 2 # die Wahrscheinlichkeit des Messens # darr #. Das bedeutet natürlich das # | a | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. Wir erlauben # a, b # Um komplexe Zahlen zu sein, ist der Grund dafür nicht sofort aus diesem Beispiel ersichtlich, aber im Zusammenhang mit der Wellenfunktion wird dies klarer. Die Quintessenz ist, dass es mehr Zustände gibt als einen, der die gleichen Wahrscheinlichkeiten zum Messen der Spins angibt.

Jetzt könnten wir versuchen, diesem Spinzustand eine Funktion zuzuweisen. Da es nur zwei Ergebnisse der Spinmessung gibt, haben wir eine Funktion, die nur zwei mögliche Eingaben hat. Wenn wir die Funktion aufrufen # psi # (Dies ist ein sehr herkömmliches Symbol für eine Wellenfunktion), setzen wir #psi (uarr) = a # und #psi (darr) = b #.

Nun wenden wir uns der Wellenfunktion zu. Ein Aspekt eines Partikels ist natürlich seine Position. Genau wie beim Spin können wir unterschiedliche Werte für den Standort messen und Zustände haben, in denen das Ergebnis der Messung nicht vorher festgelegt ist. Da es unendlich viele Orte gibt, an denen sich ein Teilchen befinden kann, schreiben Sie diesen Zustand als auf # a * "hier" + b * "da" # nicht tun Die Idee der Funktion, die wir oben verwendet haben, stimmt jedoch. Also für jeden Ort # x #Wir haben einen komplexen Wert #psi (x) #. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Partikels ist nun gegeben durch # | psi (x) | ^ 2 #.

Bei aller Fairness ist die Idee der Wellenfunktion historisch älter als die des Spins, aber ich denke, dass das Verständnis der Idee des Spin zu einem gewissen Grad zum Verständnis der Wellenfunktion beiträgt.

Nun zuallererst, warum wird der Wellenfunktionskomplex bewertet? Der erste Grund liegt in der Idee der Interferenz. Die Wellenfunktion eines Partikels kann sich selbst stören. Diese Interferenz hat mit der Addition von Wellenfunktionen zu tun. Wenn die Wellenfunktionen an einem bestimmten Punkt den gleichen Absolutwert ergeben, ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen um diesen Punkt herum zu messen, ähnlich. Die Funktionswerte können jedoch unterschiedlich sein. Wenn sie gleich sind, ergibt die Addition die Amplitude oder Wahrscheinlichkeitsdichte 4 (#|2|^2#) mal größer (konstruktive Interferenz) und wenn sie sich durch ein Zeichen unterscheiden, negieren sie sich gegenseitig (destruktive Interferenz). Die können sich aber auch beispielsweise um einen Faktor unterscheiden #ich#bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte wird #2# mal größer an diesem Punkt. Wir wissen, dass all diese Interferenzen auftreten können. Dies deutet also auf eine komplex bewertete Wellenfunktion hin, wie sie zuvor beschrieben wurde.

Der zweite Grund ist in der Schrödinger-Gleichung zu finden. Anfangs dachte man, dass sich diese Wellenfunktionen wie klassische Wellen verhalten hätten. Als Schrödinger jedoch versuchte, das Verhalten dieser Wellen oder zumindest ihre Entwicklung im Laufe der Zeit zu beschreiben, stellte er fest, dass die Gleichung, die klassische Wellen beherrscht, nicht ausreicht. Damit es funktionieren kann, musste er eine komplexe Zahl in die Gleichung einführen, was zu der Schlussfolgerung führt, dass auch die Funktion selbst komplex sein muss und die Reihenfolge der Ableitungen in der Gleichung von der klassischen Wellengleichung abweicht.

Dieser Unterschied in den Gleichungen beantwortet auch Ihre zweite Frage. Da die Entwicklung der Wellenfunktion sich so sehr von der der klassischen Wellen unterscheidet, können wir nicht dieselben Methoden verwenden, die wir in der klassischen Wellenphysik anwenden. Es gibt natürlich geometrische Argumente, die Sie verwenden können, aber es reicht nicht aus, alle Phänomene der Quantenphysik zu beschreiben. Auch wenn die Wellenfunktion viele Informationen über den Zustand eines Partikels liefert, sagt es Ihnen nichts über seinen Spin aus, da der beobachtbare Spin und die Position des Observablen wenig miteinander zu tun haben.

Vielleicht interpretiere ich falsch, was Sie unter einer geometrischen Natur verstehen. Könnten Sie vielleicht ein Beispiel geben, was Sie meinen? Vielleicht könnte ich dir dann weiter helfen.

Das Wellenfunktion repräsentiert den Zustand eines quantenmechanischen Systems wie eines Atoms oder eines Moleküls.

Es kann als entweder dargestellt werden # psi #, das zeitunabhängig Wellenfunktion oder # Psi #, das zeitabhängig Wellenfunktion.

Weil der Welle Funktion stellt offensichtlich ein System dar, das sich wie ein Welle (Es ist kein Zufall, dass es das heißt Welle Funktion!), würden wir normalerweise eine erwarten uneingeschränkt Wellenfunktion, um keine Grenzen zu haben. Betrachten Sie die Tatsache, dass # sinx # und # cosx #, zwei Funktionen, die eindeutig Wellen sind, haben Domänen von # (- oo, oo) #.

BEISPIEL: DIE WELLENFUNKTION FÜR ORBITALE

Nehmen wir zum Beispiel Orbitale. Es muss eine Menge von sein Randbedingungen für ein Orbital, weil Orbitale offensichtlich nicht unendlich groß sind.

Eine Wellenfunktion kann das darstellen lineare Kombination von Atomorbitalen Molekülorbitale bilden:

#color (blau) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = Farbe (blau) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +..) #

woher # c_i # ist der Expansionskoeffizient Angabe des Beitrags jedes Atomorbitals zum jeweiligen jeweiligen Molekülorbital, und # phi_i ^ "AO" # ist der experimentelle / Testwellenfunktion für jedes Atomorbital.

Da eine Wellenfunktion ein Orbital darstellen kann, muss sie einen positiven Radius haben (#r> 0 #) und die Wellenfunktion muss sein Single -geschätzt, geschlossen , kontinuierlich , senkrecht zu allen verwandten Wellenfunktionen und normalisierbar .

Mit anderen Worten, es muss den Vertikaltest bestehen, eine endliche Fläche unter der Kurve haben, keine Sprünge / Diskontinuitäten / Asymptoten / Brüche aufweisen und die folgenden zwei Gleichungen erfüllen:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(Das Integral einer Wellenfunktion und ihres komplexen Konjugats ist #0# wenn die Wellenfunktionen unterschiedlich sind)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(Das Integral einer Wellenfunktion und ihres komplexen Konjugats wird so normalisiert, dass sie gleich ist #1# wenn die Wellenfunktionen außer dem Vorzeichen von gleich sind # pmi #)

Eine Beispielgleichung für die Wellenfunktion in sphärischen Koordinaten für das Wasserstoffatom ist:

#Farbe (blau) (psi_ (2pz) (r, Theta, Phi)) = R_ (21) (R) Y_ (1) ^ (0) (Theta, Phi) #

# = Farbe (blau) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

Um nachzudenken, habe ich tatsächlich Zeit gebraucht, um das zu normalisieren. Ich habe mir sogar die Zeit genommen, mit den beiden anderen die Orthogonalität zu überprüfen # 2p # Wellenfunktionen.: P

Nur für den Fall, hier ist ein Anhang von dem, was ich oben in Scratchpads verlinkt habe.

#' '#

Normalisierung der

Das # 2p_z # Atomorbitalwellenfunktion ist:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

Ist der # 2p_z # Wellenfunktion Ja wirklich normalisiert? LASS ES UNS HERAUSFINDEN!

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0)) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (grün) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (overrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (?) (=) 1) #

Jetzt nur den radialen Teil untersuchen, der verrückte Teil … Lassen Sie die vierfache Integration von Teilen beginnen!

BEWERTUNG DER RADIALKOMPONENTEN DER WELLENFUNKTION

Teil 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

Lassen:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

Teil 2

Lassen:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Teil 3

Lassen:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

Teil 4

Lassen:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e (((Zr) / (a_0)))DR}}#

ERWEITERUNG / VEREINFACHUNG

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))}}

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

BEWERTUNGSFERTIGES FORMULAR

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

Die erste Hälfte bricht aus sein #0#:

# = Abbrechen ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

Die zweite Hälfte vereinfacht den Abstieg sein # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = Abbruch (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) Abbruch ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + Abbruch (4 ((a_0)) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + Abbruch (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + Abbruch (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Lassen Sie uns nun die Wellenfunktion als Ganzes noch einmal untersuchen …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

# = 1 / (Abbruch (32) Abbruch (pi)) Abbruch ((Z / a_0) ^ 5) (Abbruch (16) Abbruch ((a_0 / Z) ^ 5)) (Abbruch (2) Abbruch (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

#Farbe (blau) (1 = 1) #

JA! EINE GLEICHE EINE! Ich meine…

Die Wellenfunktion ist in der Tat normalisiert!: D

Nachweis der gegenseitigen Orthogonalität für die 2p-Wellenfunktionen

Lassen Sie uns die folgenden Wellenfunktionen wählen:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ 3/2 (Zr) / (a_0) e ^ (- Zr / 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ 3/2 (Zr) / (a_0) e ^ (- Zr / 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ 3/2 (Zr) / (a_0) e ^ (- Zr / 2a_0) costheta #

Um zu zeigen, dass sie orthogonal sind, müssen wir mindestens eine davon zeigen:

#int _ ("alles Leerzeichen") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

Und von der Induktion können wir den Rest implizieren, da die radialen Komponenten identisch sind. Mit anderen Worten:

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "(r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0) #

#Farbe (grün) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Der radiale Abschnitt stellt sich heraus # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Lassen Sie uns also die Winkelabschnitte bewerten.

Das # theta # Portion:

#color (grün) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

Lassen:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = Farbe (grün) (0) #

Und jetzt das # phi # Portion:

#color (grün) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - sin (0) #

Lassen:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = Farbe (grün) (0) #

Deshalb haben wir insgesamt:

#Farbe (blau) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = annullieren (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = Farbe (blau) (0) #

Schon seit

#int _ ("alles Leerzeichen") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

das # 2p_z # und # 2p_x # Atomorbitale sind orthogonal.

Wirklich, der Hauptunterschied bei der Verwendung von # 2p_y # Gleichung ist, dass Sie stattdessen erhalten:

#color (grün) ("Konstanten" int_ (0) ^ (oo) "Gleiches Zeug" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Und so:

#Farbe (blau) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = Farbe (blau) (0) #

Aus der Multiplikation #0# durch die anderen Integrale verschwindet das ganze Integral und:

#int _ ("alles Leerzeichen") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

Und so kam es dass der # 2p_x # und # 2p_y # Atomorbitale sind orthogonal.

Endlich für die # 2p_y # gegen die # 2p_z #:

#color (grün) ("Konstanten" int_ (0) ^ (oo) "Gleiches Zeug" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Wir kennen das # theta # ganzheitlich von vor:

#farbe (blau) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = Farbe (blau) (0) #

Und so verschwindet das ganze Integral wieder, und zwar das # 2p_y # und # 2p_z # Orbitale sind auch orthogonal!